SECOKD DÉFI AUX MATHÉMATICIENS
rEvitiEK IGûT.
Il est à peine quelqu'un (|ui propose des questions purement arithmétiques, il est à peine quelqu'un (|ui sache les résoudre. Est-ce parce que l'Arithmétique a plutôt été traitée jusqu'à présent au moyen de la Géométrie que par elle-même? C'est la tendance qui apparaît dans la plupart des Ouvrages tant anciens que modernes, et dans Diophante lui-même. Car s'il s'est écarté de la Géométrie un peu plus que les autres en astreignant son analyse à ne considérer (|ue des nombres rationels, il ne s'en est pas dégagé tout à fait, comme le prouvent surabondamment les Zélétiques de Viète, dans lesquelles la méthode de Diophante est étendue i» la quantité continue, et par suite à la Géométrie.
Cependant l'Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la (héorie des nombres entiers; cette théorie n'a été que très légèrement ébauchée par Euclide et n'a pas été assez cultivée par ses successeurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans ces livres de Diophante, dont l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler.
Pour éclairer leur marche, je leur propose de démontrer comme théorème ou de résoudre comme problème l'énoncé suivant; s'ils y parviennent, ils reconnaîtront au moins que des questions de ce genre ne le cèdent ni pour la subtilité, ni pour la difficulté, ni pour le mode de démonstration, aux plus célèbres de la Géométrie :
Etant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité de carrés déterminés tels qu'en ajoutant l'unité au produit de l'un d'eux par le nombre donné, on ait un carré.
|:i35, 34'i, 34G] T R A I) U CTl ON D E S P 1 ÈCES L AT INES. 313
Par exemple, on donne 3, nombre non carré,
3 X i^-i- r= 4 (carré), 3 X i6 -4- I = 49 (carré).
Au lieu des carrés i et iG, on peut trouver une infinité d'autres carrés satisfaisant h la condition proposée, mais je demande une ri-gle générale, s'appli({uant à tout nombre non carré quelconque ([ui peut être donné.
On demande par exemple un carré, tel qu'en ajoutant l'unité à son produit par 149 ou par 109 ou par 433, etc., on ait un carré.
(LeUi'C de Fermai à Digby, du i5 aoilt 1657.)
4. Un nombre, somme de deux cubes, étant donné, le partager eu deux autres cubes.
Ce problème n'a été résolu par Diophante que pour les carrés; il ne l'a pas essayé pour les cubes, au moins dans les livres qui nous restent de son grand Ouvrage.
Par exemple, je propose le nombre 28, somme des deux cubes I et 27.
Il s'agit de partager ce nombre 28 en deux autres cubes rationels et de donner la solution générale de ce problème.
8. Diophante a proposé de partager un nombre carré en deux carrés, et de même, étant donné un nombre, somme de deux carrés, de le partager en deux autres carrés.
Mais ni lui ni Viète n'ont essayé d'élever la question jusqu'aux cubes; pourquoi hésiter ou différer de traiter une proposition pour laquelle l'honneur de la solution a été réservé aux analystes modernes?
Je propose donc de « partager un nombre cube en deux cubes rationels »; de même : « Étant donné un nombre, somme de deux KtRMAT. — in. 4o
:$l'i. (l'UVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [340, W2, IDij
ciihcs, le partager en deux autres cubes rationels », et je 'voudrais savoir ce qu'où pense de ce problème en Angleterre et en Hollande.
( LclU-c (ic! Fermai ù Oigliy, juin lOiS.)
1. Que les très illustres S"^* Vicomte Brouncker et Jolin Wallis aient enlin donné des solutions légitimes des questions numériques que j'avais proposées, je le reconnais volontiers; bien plus, j'en suis très beureux. Cependant, si vos éminents correspondants n'ont pas voulu avouer (]ue les questions proposées les aient jamais embarrassés, môme un seul moment, j'aurais désiré qu'au contraire ils aient bien voulu reconnaître de prime abord que ces problèmes étaient dignes d'être étudiés en Angleterre; leur triomphe eut été d'autant plus éclalant que la lutte eut paru plus dilficile. On peut faire cette concession il la fierté d'une nation aussi illustre et aussi féconde en grands génies; mais pour agir désormais en toute franchise, si les Fran(;ais avouent que les Anglais ont satisfait aux questions proposées, que les Anglais à leur tour reconnaissent que ces questions valaient bien la peine de leur être proposées, et qu'ils ne dédaignent plus d'examiner attentivement et de pénétrer la nature des nombres entiers, ([u'enfin ils appliquent la puissance et la subtilité de leur esprit à de nouveaux progrès dans cette théorie.
2. Pour qu'ils me l'accordent plus volontiers, je leur proposerai un exemple tiré de Diophante et de son célèbre commentateur Rachct.
Dans la plupart des questions des Livres IV et V, Diophante suppose que tout nombre entier est ou bien carré ou bien somme de deux, de trois ou de quatre carrés. Dans son commentaire sur le problème IV, 31, Bachet avoue qu'il n'est pas parvenu à démontrer complètement cette proposition. René Descartes lui-même, dans unilettre qui sera prochainement publiée et dont j'ai eu récemment con-
[403,'iOil TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. :il.i
naissance, avoue ingénuemcnt qu'il ignore la démonstration et déclare i|iic le chemin pour y parvenir lui paraît des plus difficiles et des plus embarrassés. Je ne vois donc pas que l'on puisse douter de rim|)urlancedc cette proposition. Or j'annonce ii vos éminents correspondants (|Me j'en ai trouvé une démonstration complète.
Je pourrais ajouter nombre de propositions très célèbres dont je possède également la preuve irréfutable; par exemple :
Tout nombre premier, de la forme 4« + i, est somme de deux carrés; ainsi 5, i3, 17, 29, 37, ^i, etc.
Tout nombre premier, de la forme 3^ -f- r, est somme d'un carré et du triple d'un autre carré; ainsi 7, i3, 19, 3i, 37, 43, etc.
Tout nombre premier, de la forme Sn -+- i ou S/i ■+- 3, est somme d'un carré et du double d'un autre carré; ainsi 3, 11, 17, 19, /ji, 43, etc.
Quant à la proposition de Bachet ci-dessus, je l'ai proposée autrefois généralisée à M. de Sainte-Croix, et j'ai également la démonstration pour cette extension que voici :
Tout nombre entier est soit triangle, soit somme de 2 ou 3 triangles ; soit carré, soit somme de 2, 3 ou 4 carrés; soit pentagone, soil somme de 2, 3, 4 ou 5 pentagones; soit hexagone, soit somme de 2, 3, 4. 5 ou G hexagones; et ainsi de suite en continuant indéfiniment.
3. Tous ces théorèmes que j'ai découverts comme une infinité d'autres concernant les nombres entiers, et dont je possède des démonstrations générales, je pourrais les proposer à vos éminents corresîpondants et leur créer ainsi au moins quelque occupation. Mais il sera plus dans la franchise de ma nation do leur soumettre au contraire des énoncés dont j'avouerai que j'ignore la démonstration, quoique je sois persuadé de leur vérité.
On sait qu'Archimède n'a pas dédaigné de travailler sur des propositions de Conon qui étaient vraies, mais non prouvées, et qu'il a su les munir de démonstrations d'une haute subtilité. Pourquoi n'espère-
316 OEUVRES DE FERMAT. - COHRESPONDANCE. ['m, m]
r;iis-jo pas un seniblal>Ic secours de vos éminents correspondants, [tourquoi, Conon français, ne trouverais-je pas des Archimèdes anglais?
I" Toutes les puissances du nombre 2, ayant pour exposant un des (erines de la progression géométrique suivant la raison du même nombre 2, donnent des nombres premiers, si on leur ajoute l'unité.
Soit la progression géométrique suivant la raison 2, avec ses exposants :
