iG. 32. 6ft
r^e premier terme 2, augmenté de l'unité, fait 3, nombre premier.
Le second terme 4. augmenté de l'unité, fait 5, nombre premier.
Le quatrième terme iG, augmenté de l'unité, fait 17, nombre {)remier.
Le liuitième terme 256, augmenté de l'unité, fait 207, nombre premier.
Prenez en général toutes les puissances de 2, dont l'exposant est un ternie de la progression, il en sera de même. Ainsi, le seizième est ()5 536; ajoutant i, on. a 65 53^, qui est premier. De cette façon, on peut déterminer et calculer sans dilRculté un nombre premier plus grand (|ue tout nombre donné.
Je demande une démonstration de cette proposition, qui est certainement très belle, que je crois très vraie, et grâce à laquelle on peut, comme je viens de le dire, résoudre immédiatement un problème autrement très difficile, savoir : étant donné un nombre quelconque, trouver un nombre premier qui soit plus grand. Et cela donnera peutêtre à vos éminents correspondants la clef pour pénétrer tout le mystère des nombres premiers, c'est-à-dire étant donné un nombre quelconque, reconnaître, par la voie la plus facile et la plus courte, s'il est premier ou composé.
2" Le double de tout nombre premier, de la forme 8« — r, est somme de trois carrés.
Soit un nombre premier quelconque de la forme 8« — i, comme 7,
23, 3i, 47. etc.; je dis que chacun des doubles i4, 4^. G2, 94, est somme de trois carrés.
J'alFirmc que cette proposition est vraie, mais seulement à la façon de Conon, attendant qu'un Archimède la démontre.
3" Si l'on fait le produit de deux nombres premiers, terminés par 3 ou par 7, et de la forme t\n -+- 3, ce produit sera la somme d'un carré et du quintuple d'un autre carré.
• Tels sont les nombres 3, 7, 23, 43, 4?. <J7. etc. Prenez-en deux, par exemple 7 et 23; leur produit iGi est la somme d'un carré et ducjuintuple d'un autre carré. En elTct iGi = 81 -t- 5 x 16.
Je dis que cette proposition est vraie en général et j'attends seulement la démonstration. D'ailleurs le carré de chacun de ces nombres est également somme d'un carré et du quintuple d'un autre carré, ce que je propose également de démontrer.
4. Pour ne pas paraître trop pauvre en démonstrations, j'ajouterai une proposition que je puis prouver :
11 n'y a aucun nombre triangle, sauf l'unité, qui soit un bicarré.
Tout le monde sait que les triangles sont : i, 3, 10, i5, 21, 28, 3G, 45, etc.
11 n'y a absolument dans toute cette série, indéfiniment prolongée, aucun bicarré, sauf l'unité.
5. Enfin, pour ne pas paraître me réfugier dans les nombres faute de propositions géométriques, en voici quelques-unes, qui ne rougiront pas de se montrer en Angleterre. Les deux premières sont tirées de ma restitution des porismes d'Euclide.
Soit sur le diamètre AB {fig. 90) le demi-cercb; ANB; prenez en N le milieu de la demi-circonférence ANB, joignez NA, NB, et élevez en .\, B les perpendiculaires AD, BC, égales à AN ou NB. Prenez sur la demi-circonférence un point quelconque E, joignez DE, EG, qui couperont le diamètre aux points 0 et V. Je dis que dans ce cas on aura AV- -I- BO- = AB^
318 ŒUVRES UE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [4(i(i, 407)
Dans mon Traité, j'ai énoncé ce théori'mc ou problème sous une (orme plus générale, mais, pour le moment, il suffit de ce cas particulier.
Soient une parabole quelconque AMC {fig- 91), A, B deux points ([uelconques pris sur cette parabole, MN un diamètre quelconque. Prenez sur la parabole un autre point quelconque C et joignez-le à A l'I H. Vous couperez ainsi le diamètre toujours dans le même rapport.
C-ar si vous prenez un autre point quelconque, tel (jue D, vous aurez MO : OV:: Ml : IN; les segments interceptés sur le diamètre seront toujours dans le même rapport.
Voilà des propositions que j'ai découvertes et démontrées et (jue j'offre en échange du théorème sur le tronc de cône oblique.
6. Mais je n'hésite pas au reste à proposer aussi en cette 'matière aux Anglais des questions que je n'ai pas encore complètement résolues.
I']|ant donnés des points, des droites et des cercles, trouver une
I 107, 408, 4'.ci TKADUCTION DES PIECES F.ATINES. :U!)
parabole ({ui passe par les points tloniiés el louche les droiles ou les eereles don nés.
il sullitde quatre données. Parexcmple : Etant donnés deux points, une droite et un cercle, trouver une parabole qui passe par les points donnés et soit tangente à la droite et au cercle donnés. Il y a en toul quinze problèmes.
Je propose la même chose pour les ellipses ou les hyperboles; mais, dans ce cas, il faut cinq données, points, droites ou cercles : ce <fui lait en tout 21 problèmes.
Dans mon Traiié des conlacls spliéri(jues, j'ai autrefois traité les probliimes analogues pour la sphère et notamment résolu avec bonheur l.i question suivante : Étant données quatre sphères, en trouver une cinquième qui soit tangente aux quatre sphères dor>nées.
Vous pourrez trouver ce Traité complet chez M. de Carcavi.
.l'inviterai enfin vos éminents correspondants à mettre de coté tant soit peu les formules de l'Analyse et ;> traiter les probli^mes de Géométrie par la méthode d'Euclide et d'Apollonius, car il est à désirer que l'on ne voie pas se perdre peu à peu, dans les constructions et les •démonstrations, cette élégance à laquelle visaient surtout les anciens, comme le prouvent assez les Données d'Euclide et les autres livres d'Analyse énumérés par Pappus, livres dont j'ai jadis complété la restitution en ajoutant aux travaux de Viète, de Ghctaldi et de Snellius mes Traités des lieux plans, des lieux solides et de ligne, des lieux en surface et des porismes, Traités que M. de Carcavi a également tous entre les mains.
(Lettre (Je Fermât à Carcavi, juin 1660.)
1. En supposant la quadrature de l'hyperbole, on peut obtenir un cercle de surface équivalente à la surface courbe engendrée par la rotation d'une parabole autour d'une ordonnée.
Soit donnée la parabole AD {fig. qS) ayant AE pour axe, DE pour ordonnée ou demi-base, ABC pour coté droit. On demande de con-
