LA SCIENCE DE L'ANALYSE

recueillies pau le névéueni) père jacques de billy,

pkRtre ue i.a société de Jésus,

dans les diverses lettres qui lui ont été envoyées, a différentes époques,

par monsieur pierre de fermat,

conseiller au parlement de toulouse.

Savant lkcteur,

Il sulTît qu'en UHc do cet Ouvrage apparaisse le nom de Formai, pour que vous atlondiez quelque chose de grand; un tel homme n'a rien pu imaginer qui soit petit, rien même qui soit médiocre; son esprit était illuminé de tant de clartés qu'il ne souffrait rien d'ohscur; vous eussiez dit un soleil qui on un instant dissipe les ténèbres, et dont les rayons innombrables portent une éclatante lumière au siùn même des abîmes, .lusqu'ii présent Diophanlc a provoqué, et cela à juste (itre, une admiration universelle; mais, pour grand qu'il soil, rv n'est (|u'nii pygmée par rapport ii notre géant, qui a accompli le tour immonsi^ du monde mathématique et parcouru de nouvelles régions inconnues ;i tout autre; Viote a été célébré par tous ceux qui, pendant notre siècle, se sont occupés des opérations algébriques, et pour la renommée de quelqu'un il suffit qu'on puisse dire de lui que, dans l'Analvse, il a [lénétré la pensée de cet auteur; Viète cependant n'a pas atteint le sommet de la Science, comme le montreront les nombreux exemples développés ci-après; si Claude-Gaspar Bachet n'avait pas été pour moi un intime ami, je n'en aurais pas moins une con-

slaiilc admiration pour la singulière subtilité de son analyse; ses travaux sur Diophante montrent assez clairement jusqu'à quel point sa vue était pénétrante dans les questions numériques; cependant elle est encore faible si on la compare à celle de notre Linceo, qui lui dévoile ce qu'il y a de plus abstrus.

Mais pour ne pas recommander par son nom seul ce petit Traité, je veux dès maintenant dire en quelques mots quelles récentes découvertes lui sont dues et quelle en est la portée. En premier lieu, il y a certaines équations doubles diiriciles pour lesquelles les analystes n'ont pu jusqu'à présent trouver qu'une solution unique; lîacliet luimême alfirme qu'on ne peut en trouver deux, tandis que Fermât va en donner tout à l'heure une infinité, sans être arrêté par les nombres Taux et plus petits que zéro qui se présentent souvent dans les calculs de ce genre; il les soumettra en elTet à un subtil traitement qui les réduit immédiatement à des nombres vrais. En second lieu, personne, (|ue je sache, n'a encore résolu d'équation triple, à moins de l'avoir d'avance formée artificiellement et combinée de telle sorte que la solution en apparaisse immédiatement, même aux yeux dcs-novices; Fermat a trouvé une méthode singulière pour résoudre les équations arbitrairement proposées de ce genre, en exceptant un seul cas ((ue nous indiquerons ci-après. En troisième lieu, qui jamais a donné autant de solutions que l'on veut pour les expressions composées de cinq teinies de degrés successifs? Qui, des racines primitives, a su en tirer de dérivées du premier ordre, du second, du troisième, et ainsi de suite iiuléfiniment? Personne sans doute; à Fermât seul appartient cette découverte. Il n'a pas puisé ces inventions dans les ouvrages d'autrui, comme ont coutume de le faire certains arrangeurs, il les a tirées de son propre fonds, élaborées lui seul; et puisqu'il m'a fait l'amitié de me les communiquer dans ses lettres, je crois devoir les livrer à l'impression, en commençant par reproduire textuellement, pour ne dévier en rien de sa pensée, un abrégé de toute sa méthode, auquel il a donné pour titre : Appendice à la Dissetiation de Claude-Gaspar litic/iri sur les doubles équalions de Diophante. Voici ses propres paroles :

« Le subtil et savant analyste Bachet a distingué assez heureusement, à propos de la question YI, 24 de Diophanle, les divers modes et cas de l'équation double; cependant il n'a jtas moissonné tout le (■hamp ouvert devant lui; en elFet, rien n'empêche de donner des solutions en nombre indéfini pour les problèmes auxquels il n'en trouve (ju'une ou deux tout au plus. Bien plus, il est aisé d'accomplir ce progrès et d'obtenir ce résultat par une opération facile.

» Soit proposé le sixième mode qu'il détaille assez j)rolixemonl pages 4^9 ot l\l\o; tous les cas qu'il a énumérés ('), grâce au procédé que je vais indiquer, sont susceptibles d'une infinité de solutions qui dérivent successivement de la première, si l'on réitère indéfiniment la même analyse.

» Voici ce procédé : Cherchez la solution de la question proposée, selon la méthode ordinaire, c'est-à-dire celle de Bachet ou de Diophante; ayant ainsi obtenu une valeur numérique de l'inconnue, recommencez l'analyse, en prenant, pour valeur de la nouvelle inconnue, .r plus le nombre trouvé précédemment comme solution. Le problème se trouvera ainsi ramené à une nouvelle équation double dans laquelle les termes indépendants de x se trouveront carrés, en vertu de l'emploi de la premii're solution; par suite la diiïérence entre les deux expressions se trouvera composée seulement de termes en x- et en x, c'està-dire de degrés consécutifs; cette nouvelle équation double pourra donc se résoudre d'après la méthode de Diophante ou de Bachet. La seconde solution ainsi obtenue permettra, par le mémo artifice, d'en calculer une troisième, celle-ci une quatrième, et ainsi de suite indéfiniment.

» Cette remarque, qui a échappé à Diophante, à Bachet et même à Viète, comble la plus grave lacune que présente actuellement l'analyse de ces questions. IMais le principal intérêt de ma découverte res-

(') Le sixième mode de Baciiel correspond à l'ensemble des diiïérents cas pour lesquels il obtient une solution do l'équation double sous sa forme générale :

ax'^-\- bx -i- c = ^, a'x2-i- i'x -t-c'= □ .

sort surtout dans les problèmes, pour lesquels la première analyse donne, comme valeur de l'inconnue, un nombre affecté du signe — , et qu'il faut par suite regarder comme plus petit que zéro. Ma méthode s'applique en elTet dans ce cas, non seulement aux problèmes qui se traitent par des équations doui)ies, mais à tous en général, comme on peut le reconnaître à l'essai.

» Voici la façon d'opérer : Cherchez, suivant le procédé ordinaire, {voir \Migc ■2-] i , lignes GàiG) une solution eu nombres vrais. » Ici s'arrête cet Appendice de Fermât.

Voici maintenant la matière de mon petit Traité; il est divisé en trois Parties : la première concerne les solutions en nombre indéfini des doubles équations, solutions qui peuvent d'ailleurs se présenter, soit avec le signe -t-, soit avec le signe — ; la seconde Partie s'élève aux triples équations et révélera des secrets dont jusqu'à présent on n'a rien soupçonné; la troisième enfin aborde le probli;me de -rendre égale à un carré une expression formée de cinq ou quatre termes, et donne le moyen d'obtenir des racines en nombre indéfini, (jui dérivent successivement des primitives.