PREMIERE PARTIE

BES SOLUTIONS EN' NOJUUIE IXDÉEIM DANS LES DOUBLES ÉOUATIONS.

1. U convient tout d'abord de rappeler brièvement la méthode ordinaire pour traiter une double équation. Voici en quoi consiste cette méthode : On prend la différence des deux expressions qui doivent séparément être égalées à un carré; on choisit deux facteurs dont le produit forme cette différence, puis on égale soit à la plus grande expression le carré de la demi-somme des facteurs, soit à la plus petite expression le carré de la demi-différence des facteurs; on obtient ainsi la valeur de la racine qui, substituée à l'inconnue dans chacune des deux expressions, donnera des nombres carrés. Je vais donner des

TUADUCTION J)E LIN VENT U M NO VU M. 32!t

oxcmpli's pour (rois cas seulement, les autres pouvant être aisément ramenés à ceux-là.

2. Premier cas : Les expressions à égaler à un carré sont composées seulement d'un terme en x et d'un terme indépendant, comme les deux suivantes :

La dilTérence de ces deux expressions est 7 = 7 x i; la somme des fleux facteurs est 8, et le carré de la demi-somme est id. J'égale donc i() = 2a;-»- I 2, d'où 2pour la valeur de a: dans cha()ue expression. Autrement la différence des mêmes facteurs est G, le carré de la demi-dillerence est 9, que j'égale a la plus petite expression, 2a:-f- >; d'où la même valeur a- = 2.

Les deux expressions donnent nécessairement, par substitution, les carrés iG et 9.

3. Second cas : Les expressions sont composées de termes en x-, en .r, et indépendants; de plus les coeiïicients de x^ sont carrés. Par exemple :

La dilTérence est iG.r -h iG = 4 x (4*" + 4); la somme des facteurs : \x -+- 8, le carré de la demi-somme : 4-^' + i^'^ + i^- En égalant ii la première expression, on aura j- = 2.

Uemarquez que dans ce cas, parmi les couples, en nombre indélini. des facteurs dont le produit donne la différence ci-dessus, il faut choisir celui où le coefficient de x est double de la racine carrée du coefficient de x- dans chacune des deux expressions (on le suppose le même dans l'une et dans l'autre); c'est ainsi que nous avons pris 'tx, pour que le carré de sa moitié fasse 4^°-

Les deux expressions donnent, après substitution, les carrés G'j et iG.

4. Troisième cas, celui qu'il importe surtout de remarquer, car c'est i't;iiMAi. — ui. 42

celui qui nous servira le plus souvent : Dans chacune des deux expressions, le terme indépendant de a; est un carré; ce peut d'ailleurs être le mémo carré, ou bien il peut différer de l'une à l'autre, comme si l'on a, par exemple,

^2 8x + i6=a, 3.r=— 48^ + G4 = D• ,Mais alors on divisera le plus grand carré par le moindre, G^ par (G, et l'on multipliera la plus petite expression par le quotient /\ ; on aura ainsi deux expressions, dans lesquelles les termes connus seront des carrés égaux :

Leur différence x^-h iGx ^x(x -+- iG). Remarquez que je prends iG comme terme connu du second facteur, parce que c'est le double de 8 (jui est la racine du carré commun aux deux expressions. La somme des deux facteurs est 2.x -h id; le carré de leur demi-somme est >r- + iGo; H- G4; je l'égaie à l\x'- — 3ix -\- G!\; et j'obtiens a; = iG. D'où, en substituant dans les expressions proposées, les carrés i.Vj et G'|.

Règle générale pottr ohlenir en nombre indéfini des solutions de doubles équations.

5. Prenez la valeur de la racine obtenue par la méthode ordinaire, et joignez-la 'ax, en lui maintenant son signe, soit -l-, soit — ; substituez à X cette nouvelle expression de la racine dans les termes de la double équation donnée; vous aurez de nouvelles expressions à égaler à un carré; cherchez alors la valeur de x par la méthode ordinaire, suivant le troisième cas que je viens de donner et sur lequel j'ai appelé l'attention; cette nouvelle valeur, qui rend carrées les nouvelles expressions formées, devra maintenant être jointe à la première valeur obtenue, en tenant compte des signes + ou — ; on obtiendra

iiiiisi une seconde valeur de x rendant carrées les expressions primitivement proposées.