Soit par exemple la double équation
^x-hi = \J, j;-— 2x4- i=zQ.
Kn dehors de la solution immédiate a; = 2, on trouvera encore, par la
méthode ordinaire, x = j- ic. vais me servir de ces deux valeurs pour
en tirer d(! nouvelles solutions; je prendrai, en premier lieu, suivant la règle, comme nouvelle représentation de l'inconnue, x -\- 2. Substituant à X dans la première expression égalée à un carré, c'eslà-dirc lix -+- i, j'ai 4-^ -H 9 (si en effet x devient x -+- 2, ^x deviendra 4.r-i-8 et en ajoutant i, terme connu de l'expression, il vient 4a7-t-f)). De même, substituant x -\- 1 h x dans la seconde expression, a;* — 20- 4- 1, on aura à égaler îi un carré la nouvelle expression a;^ -f- 2 X- -I- 9 (-). Si l'on en retranche la précédente, c'est-à-dire 'ix -+- 9, et qu'on achève l'application ii cette double équation de la
règle ordinaire, on obtiendra x^-~-'> ^^ y ajoutant 2 (puisque la
nouvelle représentation de l'inconnue est ,r h- 2), on aura y- comme nouvelle valeur de l'inconnue pour le système proposé.
1. Je veux maintenant, de 1 autre valeur y, en déduire une nou-
velle; je prends pour inconnue x -h y, et je substitue cette représentation il X dans les expressions /i-^ + • l't x-—'2x-}-\; il vient \x -h A et J-- — ^ — I — 77- Les termes indépendants de x étant carrés
(') Billy prend absurdcment poui- seconde expression : .r^ — -i.v + i, qui est idcntiquemcnl un carré.
(') Erreur de calcul, le résultat de la substitution étant x'-hzc-hi. Néanmoins la
valeur — satisfait à la double équation, par suite de la circonstance signalée dans la note
précédente.
(le part et d'autre, la double équation pourra être résolue comme il a été dit n''4 pour le troisième cas; on trouvera x = —, et en ajoutant
j (puisqu'on a pris x -h j pour représenter l'inconnue), on obtiendra — ^ comme nouvelle valeur de l'inconnue dans le système proposé.
8. Nous avons ainsi des secondes valeurs dérivées des premières; de ces secondes on peut en tirer des troisièmes en employant exactement le même procédé. Ainsi, soit à dériver une troisième valeur de
la seconde — ; j'ajoute celle-ci à x, de façon à représenter l'inconnue
par ic-f- — > que je substitue à x dans les expressions 4-^-^-i ft x'- — 2.x -h i, ainsi que j'ai déjà expliqué; j'obtiens ainsi
