Diophante, IV, 29, étant arrivé à l'équation

Bachet dit qu'elle ne peut être résolue que de deux manières, en choisissant la racine du carré de façon à éliminer avec les termes en x^ et

les termes connus, soit les termes en x, soit les termes en x'\ de faron que dans l'équation finale il ne reste soit que des termes en x'^ et en x'-, soit que des termes en x- et en x. Il trouve ainsi seulement les valeurs

- et -^ pour a*. Fermât en trouve au contraire une infinité, et en premier lieu il élimine aussi les termes en x'- de façon à laisser subsister dans l'équation soit seulement les termes en x'' et x^, soit le terme en X et le connu. D'autre part, Bachet remarque que si l'on prend pour racine du carré : 3x- -\-Gx — i, on tombe dans l'inconvénient d'égaler à zéro -x'yx'- -\- [\ox'. Cet inconvénient n'arrête pas Fermât. En troisième lieu, chaque valeur trouvée est pour lui la source d'une infinité d'autres, comme je l'ai déjà expliqué.

34. Enfin Bachet, sur Diophante, IV, 28, dit qu'il est impossible d'égaler à un cube 8j;' -— x- + %x — i; il en donne comme raison que l'on ne pourrait prendre que le cube {ix — i)' afin d'éliminer le terme en x^ et le terme connu; mais, avec tout le respect que je lui dois, cela est inexact; car tout d'abord on peut prendre le cube '8 \' . . . . 549

. ^x — i] et trouver ainsi x = y-^- En second lieu, rien n'empêche de prendre le cube (2x — i)', car, si l'on trouve ainsi x = — -^ on

peut faire une substitution en partant de cette solution. Au reste, je développerai plus longuement ces questions dans ma troisième Partie.

Fermai a dépassé Viéte.

35. Viètc a nié trop précipitamment qu'il fût possible de partager un nombre, somme de deux cubes, en deux autres cubes; Fermât (') enseigne comment ce problème peut être résolu d'après le commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 2 (ce dont pourtant Bachet lui-même ne s'était pas aperçu). Soit en effet 9, somme des deux cubes 8 et i, ;i partager en deux autres cubes. On cherchera d'abord deux cubes ayant

(I; l'oir ci-dessus, Obscrvutioits sur Diophante, 8 et 9, pages 24O et suiv. Fermât. — m. 44

3VG ŒUVllES DE FERMAT.

pour différence 9; ;i cet effet, on a])pliqucra la règle suivante : Faire le produit de chacun des deux cubes 8 et i par trois fois la racine de l'autre; diviser les deux produits par la différence des cubes; ajouter la plus grande racine au plus petit des deux quotients; retrancher la plus petite racine du plus grand quotient; la somme et la différence ainsi obtenues donneront les racines des cubes cherchés. Dans

1 exemple choisi, ces racines seront donc — et — ; les cubes -~^ et

-T-f'T' En second lieu, deux cubes étaiit donnés, on peut en calculer deux

autres ayant la même différence; voici la règle à cet effet : Faire le produit de chacun des deux cubes donnés par trois fois la racine de l'autre; diviser les deux produits par la somme des deux cubes; retrancher la plus petite racine du plus grand quotient et la plus grande racine du plus petit quotient; les restes seront les racines des cubes cherchés. Mais ceux qu'on a trouvés en dernier lieu ont pour différence 9; les autres cubes ayant la même différence 9 auront donc

pourracines — 5--^ et — 5 — . et ces cubes seront ^,0-^7 >-o v/,-, — - et ^ 90091 90591 708542637646471

Qo g/ ro c/c , — l'-ntin il V a une troisième resle pour trouver deux

cubes dont la somme soit égale à la différence de deux cubes donnés;

la voici : Faire le produit de chacun des deux cubes donnés par trois

fois la racine de l'autre; diviser ces deux produits par la somme des

deux cubes; retrancher la plus petite racine du plus grand quotient et

le plus petit quotient de la plus grande racine; les restes seront les

racines des cubes cherchés. Or nous avons trouvé en dernier lieu

deux cubes ayant 9 pour différence; si l'on cherche, par la règle

ci-dessus, deux cubes dont la somme soit égale à cette différence,

, 1-11 I 243 617 733 qqooq4 836 43i on trouvera pour leurs racines les nombres „ ,. .''. ^,. ., ^, —

36. Viète a résolu très habilement le problème proposé par Adrien Romain à tous les mathématiciens de l'univers, mais il ne l'a fait qu(>

TRADUCTION DE L'INVENTUjM NOVUM. 3i7

dans le cas où le nombre auquel doit être égalée l'expression proposée est inférieur à 2; il a d'ailleurs employé les sections angulaires, ce en quoi il a montré toute la puissance de son génie et ce qui lui a attiré une renommée immense et universelle. Mais notre Fermât (') a résolu le même problème dans le cas où le nombre donné est supérieur à 2, e( où alors les sections angulaires ne peuvent être d'aucun secours. Soit, en effet, à égaler à un nombre donné quelconque l'expression \3x — 37900;' + f)5G3/ia;^ etc., telle que l'a proposée Adrien Romain; c'est bien là en effet à quoi revient le problème, ainsi que Viète l'a reconnu et a corrigé l'énoncé. Soit G 4- \i'ii le nombre donné, supérieur à 2 par conséquent; Fermât affirme que la valeur protogène de l'inconnue peut être facilement représentée au moyen de racines universelles et qu'elle est dans ce cas

Si maintenant le nombre donné est 4. Fermât affirme que la valeur

de l'inconnue sera y 2 -h y/3 -+- V2 — v/3, et il obtient ainsi des solutions pour tous les nombres supérieurs à 2, quels qu'ils soient, alors (fue, même en employant les solutions angulaires, Viète n'en pourrait donner une seule.

3T. Viète, Zelet. V, 9, a traité peu lieureusement le problème de Diopbante, VI, 3. Ce problème consiste en effet à trouver un triangle rectangle tel que la somme de son aire et d'un nombre donné fasse un carré, tandis que Viète l'a restreint au cas où le nombre donné est somme de deux carrés.

Formata donné une infinité de solutions pour un nombre proposé

quelconque. Soit, par exemple, le nombre 3, un des triangles cher-

ches sera ,^ „ ^ • . 7.^ ^ • 7- • 410 160 4'C 100 4o

(') A oi> ci-dessus pages 1G4 à 168.

3i8 ŒUVRES DE FERMAT.

Fermai dépasse Diophantc sur nombre de points.

38. Diophantc, V, 8, donne le moyen de trouver trois triangles rectangles dont l'aire soit égale; mais, si l'on en demande davantage, il peut d'autant moins satisfaire à la question, qu'il n'a jamais indiqué le procédé pour trouver un triangle rectangle de même aire qu'un triangle rectangle donné. Format résout ces deux problèmes par une même opération. Soit, par exemple, à trouver un triangle rectangle dont l'aire soit G, comme celle du triangle rectangle 3.4.5. Soit 3 un des côtés d'un certain triangle rectangle; x->rf\ l'autre coté; la somme des carrés de ces cotés donne x- -i-8.r-h25 pour le carré de l'hypoténuse; cette expression doit donc être égalée à un carré. D'autre part.

l'aire de ce triangle, -a: + 6, doit être G fois un certain carré (puisque

l'on demande que l'aire soit G). Donc le sixième de l'aire ci-dessus doit faire un carré, et il en doit être de mémo du produit de ce sixième par 3G. On doit donc égaler à un carré CjX + 3(5. On a ainsi une double équation

où les termes connus sont carrés; on trouvera donc facilement pour .r

, , 6o53o4oo ,, , , aSqGSol ,, , •.• i i- i

la valeur t^^—. — > d ou a; -t- 4 = ,• ^ — ; 1 autre cote de 1 ansh;

21600409 2 4o5boi "

droit est 3; la somme des carrés de ces côtés fait un carré dont la racine sera l'hypoténuse, ^ , , ^. ^ ; nous avons ainsi le triangle rec-

tansle , . ,. t'-^t — 3, dont 1 aire sera le sextuple d un certain

carre, a savoir ' , . ,. — , dont la racine est -^r^ — Divisons par cotte

2400601 lOOI '

racine chacun des côtés du triangle rectangle que nous venons de

, , . , , , , 12 06 1328935 4 4Q2q43oo4 4653

trouver, nous aurons le triangle cherche — -, — jTTrj-r V ' /■,■ ,c --^t^^»

dont l'aire est G. On remarquera que nous avons trouvé ce triangle en

partant du triangle donné 3.4-5; mais celui que nous avons trouvé

peut, par le même procédé, nous on fournir un troisième, colui-ci un quatrième, et ainsi de suite indéfiniment. Voici, au reste, quatre triangles rectangles ayant pour aire 840; le premier étant BSy^o./^■l, le second 74.24.70, le troisii'me ii3.i5.ii2, le quatrième sera

■in 60C) oç)6 56896 2'î6o6o8o 19024 19024 19024