Diophante, VI, 6, tombe sur la double équation
Elle peut être résolue de deux manières, qu'on suppose d'ailleurs que la première expression soit la plus grande ou la plus petite des deux. On
trouvera pour œ les deux valeurs — et ■^; demandez-en une troi-
sièmc à Diophante, il ne la donnera pas. Fermât peut en fournir une in-
tinité; par exemple, substituons j;+ — à a; dans les deux expressions
X- -hieli^x + 1 , la transformation donnera les expressions suivantes
48 62.5 , , , , , , a-'- H a; + -^ et ii\a; -h 4o, dont les termes connus sont carres; on
peut donc les résoudre par la méthode connue et l'on y trouvera pour
, , 1 323 258ot 1 2.5o A • , 24 1 ,• 1
X la valeur rr-; — ^ ,. , , , • Aioutez —, vous aurez pour solution de
iaS 2id0i4 144 7
la double équation proposée H e — ^^-? — - — s-
40. Diophante, après les problèmes VI, 15 et 17, a omis un troisième cas, la recherche d'un triangle rectangle tel que si l'on retranche son aire soit de l'hypoténuse, soit de l'un des côtés dv l'angle droit, on ait un carré; problème d'une rare subtilité que Diophante n'a omis, comme je l'ai dit, que parce qu'il est arrivé à de faux nombres dont il n'a pu se tirer. Fermât en donne une solution très remarquable; tout d'abord il reconnaît par son analyse qu'il faut trouver un triangle rectangle tel que le produit de l'hypoténuse par la somme de l'un des cotés de l'angle droit et de la moitié de l'autre.
:}oO ŒUVUES DE FERMAT.
lionne un carré, après soustraction de l'aire; il trouve ensuite ce triangle, par le raisonnement elles calculs que j'ai indiqués plus haut, n" 26, où j'ai dit que le triangle 985.G97.69G satisfaisait à la condition proposée. En troisième lieu, il multiplie les côtés de ce dernier Iriangle par l'inconnue, et prend ainsi pour le triangle cherché : t)i^jx.Gc)-]x.Gr)Gx, dont l'aire est 2\i5jGx-. Retranchons-la de l'hypoténuse 985a; et du côté 69737, et égalons à des carrés les restes : r)H"):r;— 2'i2 jjGx'^ et 697^7 — 2^\i5~}Gx'-. Prenons enfin pour ce dernier carré celui de 697a;, et posons en conséquence
485 8o9J"':= 697 JT — 242 556 cr^;
on aura x = — tt-- et le trlansle primitivement cherché sera io4d ° '■
Voilà où Diophante n'a jamais pu arriver. Nous donnerons encore plus loin nomhrc d'autres exemples de problèmes qu'il a omis, parce qu'il n'a pu les résoudre.
Douze problèmes sur l' application des méthodes indiquées ci-dessus.
41. Les exemples que nous avons déjà donnés constituent autant de problèmes très difRcilcs, que l'Algèbre ordinaire est impuissante à résoudre. Ainsi le premier (n° 6) relatif à l'équation double
4x-t-i = G, jr-— aa-H-i — n.
pourrait s'énoncer comme suit : Trouver un nombre plus grand que 8, dont le quadruple ajouté à l'unité, fasse un carré, et dont le carré,
augmenté de l'unité, mais diminué du double du nombre, fasse éga-
lement un carré. Le nombre cherché sera -r-
Le second exemple (n" 11) peut être proposé comme suit : Trouver un nombre dont le double, retranché de l'unité, donne un carré, et dont le quadruple retranché de l'unité ajoutée au double du carré du
nombre, fasse également un carré. D'où l'équation double
et la solution r, — ; — t-- 39 100 049
lintin le troisième exemple (n" 12), celui de l'équation double
8j;=-Hi()x + 4 = G, 2J:-+4.r + 4 = n.
jieut être proposé comme suit en problème : Trouver un nombre tel qu'en le multipliant par iG, ajoutant 8 fois son carré et le nombre 4, on ait un carré, et que d'autre part, son quadruple, augmenté du double de son carré et en plus du nombre 4. fasse un carré.
La solution sera — •
J'omets les autres exemples pour aborder quelques autres questions plus brillantes.
Trouver indéfiniment deux nombres tels qu'en retranchant leur produit soit de l'un quelconque des deux, soit de leur somme, soit de leur différence, on ait toujours un carré.
42. Soient a; et i — j; ces deux nombres, positions qui satisfont aux deux premières conditions; reste à satisfaire également aux deux dernières. Je suppose que x soit le plus petit des deux nombres; si l'on retranche leur produit, x — x-, de leur différence 1 — 2X, on a pour reste : x'- — 3x' + i. Si l'on retranche le produit des deux nombres de
leur somme, i, on a d'autre part le reste x^ — x -^1. En égalant les
deux restes à des carrés, on a par la méthode ordinaire : a- = 5; les
3 5 deux nombres cherchés seront donc o et ô- Je substitue maintenant
X- -)- ^ à a; dans les expressions des deux restes ci-dessus; les transliu-
mees seront
Comme les termes connus y sont carrés, on peut trouver, pour ces
3o2 ŒUVRES DE FERMAT
transformées, x= \ — p^-^-. En ajoutant ^, on aura la valeur
(le l'inconnue dans les expressions primitives, et on obtiendra ainsi'
les deux nombres -tt^,^ — ^ et -^, — ^-^ — De la valeur trouvée en der- 784992912 784992912
nier lieu, on peut d'ailleurs déduire une troisième valeur, de cette troisième une quatrii-me, et ainsi de suite indéfiniment.
Voici deux autres nombres satisfaisant à la question : '"''.' et
Trouver indéfiniment trois nombres tels qu'en retranchant Surproduit, soit de l'un quelconque d'entre eux, soit de l'une quelconque de leurs différences, soit (lu produit du moyen par l'un des extrêmes, soit du carré du moyen, on ait toujours un carré.
43. Posons a;, i, i — ic pour les trois nombres cherchés. Leur produit, X — X-, laisse un carré si on le retranche, soit du premier, soit du troisième, soit de l'excès du second sur le premier, soit de l'excès du second sur le troisième.
Pour satisfaire aux autres conditions, il suffit d'ailleurs que l'on ait
expressions identiques à celles de la question précédente. On trouvera
donc j = 5) et les trois nombres seront 3, 8, 5, en supposant 8 pour
dénominateur commun. De même les trois suivants: io4i(i. 5i 8G5, 4 1 4^19 (avec 5 1 865 pour dénominateur commun) ; ou encore les trois : 249 87J 197, 784992912, 535 1 17 715 (avec 784992912 pour dénominateur commun) satisferont aussi au problème.
On aurait pu le proposer sous cette forme : Partager 2 d'une infinité de façons en trois parties, telles qu'en retranchant le produit des trois de chacune d'elles, de chacune de leurs difTérences, du produit de la moyenne par chacune des extrêmes, enfin du carré de la moyenne, on ait toujours un carré. En effet, pour chaque ternaire des nombres
ci-dessus, la somme des trois nombres est toujours 2. Remarquez d'ailleurs que par partie moyenne, je n'entends pas celle qui est plus petite que la plus grande et plus grande que la plus petite, que je tiens seulement compte de l'ordre de situation, tel qu'il a été observé cidessus.
Trouver indéfiniment deux nombres tels que si l'on retranche la différence de leurs carrés, soit du plus grand, soit du plus petit, soit de leur différence, on ait toujours un carré.
44. Soit I — IX la somme des deux nombres, ix leur dilTérence;
ces nombres seront donc - et 2a',,et la différence de leurs carrés
sera ix — 4a;*. Qu'on la rctrancbe, soit de la somme, soit de la différence, elle laissera toujours un carré. Mais il faut encore qu'il en soit de même si on la retranche soit de l'un, soit de l'autre des deux nombres. On aura donc la double équation
[^x--~■îx -\r - = n, 4-y'— 4-2- + - = n.
et l'on trouvera a; = ^ • Les deux nombres cherchés seront - et -7 • 48 2 24
Pour en trouver une autre paire, on substituera x -\- j~ô à a; dans les
deux expressions ci-dessus, et l'on poursuivra l'opération suivant les règles données plus haut, sans se laisser arrêter par la rencontre de faux nombres, car j'ai dit comment on peut les ramener ii de vrais nombres.
Trouver deux nombres dont la somme fasse un carré et dont la somme des carrés fasse un bicarré.
45. Ce problème est tout h. fait le môme que celui que nous avons énoncé ci-dessus : Trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit; notre Ferwat. — in. 45
Fermât l'a d'ailleurs proposé à nombre tle savants mathématiciens
sans qu'il ait été résolu par eux. On partira du triangle primitif
trouve ci-dessus (n°25), à savoir: 1G9.1 19.120, qui est formé des
nombres 5 et 12. Si l'on forme un nouveau triangle avec les nombres
■r -h 5 et 12, il aura pour cotés : x'- -h lox-hiGc), a;* -(- loj? — 1 19,
24.^ + 120. Or il faut égaler à des carrés tant l'hypoténuse :
x" -\- 10X -+- 169, que la somme des cotés de l'angle droit: x^-j-3^x-{- i .
Si l'on multiplie cette dernière somme par 1G9, la double équation
sera
i69>r^+ 5-]^6j- + 169 r= □ , x--\- lo.r + 169 = n ;
c'est celle qui a été traitée au n" 22. On a donc a; = — '* .^J ; d'où, • 20 oob
d'après les positions prises pour les deux nombres générateurs, on aura le triangle cherché
dont l'hypoténuse est un carré, aussi bien que la somme des cotés de l'angle droit. Dès lors les deux cotés de l'angle droit sont deux nombres dont la somme est un carré et dont la somme des carrés est un bicarré. C. (.). V. T.
Trower un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carré et qu'en y ajoutant un multiple donné de l'autre coté de l'angle droit, on ait encore un carré.
46. Soit 3 le multiplicateur donné. Formons le triangle des nombres .r -I- I et I ; les cotés seront : x' -f- ix -+-2, a;^ + ix, ix -h 2. Multiplions ce dernier côté par 3 et ajoutons le produit, 6a; + 6, au côté intermédiaire; il vient x'- + 8a; -1- 6 qui doit être un carré, en même temps que le côté intermédiaire : x'--i-2x. En résolvant la double
équation à la manière ordinaire, on trouvera x = — , et, d'après les
positions, le triangle cherché sera, en nombres entiers : 3 1 3. 25. 3 12.
Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carré et qu'en en retranchant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit on ait encore un carré.
47. Soit encore 3 le multiplicateur donné : on partira, comme triangle primitif, de celui qui a été trouvé dans la question précédente : 3i3.25.3i2. Les nombres générateurs en sont i3 et 12; on formera, en conséquence, le triangle cherché des nombres x— (3 et 12. Les côtés seront : x- — 26a? -+- 3i3, a;- — 260; + 25, il\x — 3i 2. Multiplions le dernier par 3 et retranchons le produit du côté intermédiaire, il reste a;- — 98a' + 961, qui doit être un carré, en même temps que le côté intermédiaire, a;- — 26.r + aS. On a donc une double équation, pour laquelle il convient, suivant ce qui a été dit
au n" 4, de multiplier la seconde expression par ^; on aura ainsi
■^.v'- ^?— .r + gCi^n, .r'--98.r-!-96i = [:].
La différence des deux expressions est
hn continuant a 1 ordinaire, on trouvera a; = ' „ ., — ; les nombres
3ib 570
X — i3 et 12, si l'on chasse le dénominateur, deviendront en entiers 235/12921 et 3 820440- On en formera le triangle cherché :
Je donnerai plus loin (Partie III, n" 36) une solution du même problème par une autre méthode.
Trouver un triangle rectangle tel que l'hypoténuse soit un carré et qu'en retranchant d'un des côtés de l'angle droit un multiple donné de l'autre côté on ait un carré.
48. Soient a; + 1 et i les nombres générateurs du triangle; les côtés seront : a;-^-2a;^-2, a;' -1- 2a;, 2a; + 2. Si l'on retranche le
double de ce dernier côté, c'est-à-dire l\x -\- l\, de x--\-ix, il restera X- — IX — /( qui devra être un carré, en même temps que l'hypoténuse : X- + nx -\- ■}.. Cette double équation donne x = — -^•, par suite :t; + 1 et i, en chassant le dénominateur, auront les valeurs entières —.5 et 12, dont on forme le triangle : 1G9.1 19.— 120. Recommençons donc l'opération, en prenant, pour nombres générateurs du triangle, x — 5 et 12. Les cotés du triangle seront : x- — loa; -f- 109; X- — lax — \\c); 2