I.a différence des deux expressions est

\i\\ égalant à la première expression le carré de la demi-soninne des

tactcurs, on trouvera x= -^. et en en retranchant 5, on aura -^- Les

nombres générateurs du triangle seront par suite 493 et i32, et di's lors le triangle cherché sera 2G0473.225G25. i3oi52.

On résoudra de même le pfohième suivant : Trouver un triangle rectangle tel que l'un des cotés de l'angle droit soit un carré et qu'en r(^tranchant de l'hypoténuse, soit l'autre coté pris simplement, soit son double, on ait toujours un carré. Ces conditions sont, en elTet, satisfaites par les nombres donnés ci-dessus, et il ne faut pas dire que celle que nous venons d'ajouter est sans objet, comme remplie d'ellemême dans tout triangle; car si elle est effectivement remplie pour tout triangle (primitif), il n'en est pas de même pour leurs multiples; ainsi, dans le triangle 624.576.240, l'un des côtés de l'angle droit est bien carré, de même que l'excès de l'hypoténuse sur le double de l'autre côté; mais la somme de l'hypoténuse et de cet autre côté, pris simplement, n'est nullement un carré.

Trouver un triangle rectangle tel que ion ait un carré en retranchant l'aire du carré de la somme des côtés de l'angle droit.

51. Soient x et 1 les deux côtés de l'angle droit; la somme de leurs carrés, x--h\, fera le carré de l'hypoténuse et si, du carré de la

somme des mêmes côtés, on retranche l'aire du triangle, qui est ->

on a pour reste x--h-x + i à égaler de même à un carré. Cette

double équation donne x = ~ j^- Je substituerai donc x — '^^ l\ x

dans les deux expressions égalées à des carres; les transformées

seront

, iQ i36q , 55 5320 ^ 24 23o4 24 23o4

En multipliant la première par -j^> je ramènerai à l'égalité les termes carrés connus, et j'aurai les deux (expressions

5329 , ioi25i 5329 . 55 5329

dont la difl'érence est

On en déduira j; =^ i—z — 77; en retranchant 73. on aura, pour la 5250744 4°

valeur de l'inconnue dans les premières positions, ' ,.,' • Les cotés

de l'angle droit, qui ont été posés égaux à j; et à i, seront donc en nombres entiers SgôSS et (29648, et l'hypoténuse 135577. C'est le triangle cherché.

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit et que, si l'on retranche le double de l'aire de l'un ou de l'autre des côtés de l'angle droit, on ait toujours des carrés.

52. Soient a; et i —x les cotés de l'angle droit; le double de l'aire estiT — a;^; si on le retranche de l'un et de l'autre des deux côtés, on a les carrés x- et x^ — 2j: -+- i. D'autre part, la somme des côtés est le carré i. Il faut encore que le second côté, i — x, soit un carré, aussi

bien que la somme des carrés des côtés, c'est-ii-dire ix- — 20: + i . On

trouvera x =^ -r-- Le triangle ciierche sera donc -r-'y-'i-- 49 49 49 49

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soil un cube et que, si l'on en retranche l'aire, il reste un carré.

53. Soient x et i les côtés de l'angle droit; de la sorte l'un d'eux sera cube; de ce cube, je retranche l'aire -x. 11 reste i x (lui ibiil

êtro égalé à un carré, en môme temps que x'^-hi. Cette double équation me donnant x = ^, je substitue x — ^ à x dans les deux

expressions égalées à des carrés; les transformées sont : 36 1 I . 544 i24 6oq „

I.es termes connus y sont carrés; je les ramène à l'égalité et j'ai ainsi

La difTérence des deux expressions est

J en conclus x= ^' ■' ^ „ — ^—■, 1 en retranche -^ pour trouver la

valeur de l'inconnue dans les positions primitives; j'ai ainsi

et le triangle cherché sera