Soit, par exemple, la triple é(|uation

Substituons ix'' + -ix à x, pour que la premii're expression se Iransformi^ dans le carré 4-^^' + /| J' + i. Les deux autres expressions, après

M) Pans iiiio note sur un de ses ninmiscrils conservés à la Bibliolli('(|iic île Dijon ( Ms. ^Glv'. folio 21 verso), le Père do Billy revendique pour hii-ménie en ces lorines la reinar()iie de ce cas d'impossibilité :

« Anno iGGo jun. 27, Domiinis do Fermai, Senator Parlamenti Tholosani, si^nificavil niilii habere se inethodiim gcncralcni resolvendi triplicatas a'qiialilales in qiiibus occiirnint lanlum (piadrati cl radiées cl ninnenis (niadraloriim osl qiiadralus : ni si .l'qnenlnr

ipiadralo

lAA-f-îA, 4AA+6A, <jAA + 6A,

polesl variari quomodolibet numéros radicum. Egocorrexi Dominum de Fermai eloslcndi quod, si duo minores numeri radicum œquentur majori, impossibilis est solulio per ipsius mclhodum : quod ipse postea fassus est ingénue se non animadverlisse. «

TIIADUCTION DE I/INVENÏUM NOVUM. 3()ï

siihslilulion, de vie mien l

Si l'on traite cotte double équation par la métliotle ordinaire, on aura, comme solution des transformées, x^ — i, valeur qui, sulisliluée dans la représentation 20;-+ a.r de l'inconnue, donne o, c'està-dire la négation de tout nombre positif.

10. On doit dire la même chose pour toute autre triple équation de même sorte. Remarquez cependant que j'ai dit que, dans ce cas, la solution est impossible par la méthode que j'expose, car on peut pro- |K)ser nombre de triples équations du même genre qui, en elles-mènu-s, ne seront pas impossibles; par exemple la suivante

où, en substituant la valeur. r = 3, on trouve les carrés iCi, '19, (i'i.

11. Il faut encore observer avec notre Fermât que la triphî équation

est impossible ii la fois dans son essence et au point de vue de la méthode; dans son essence, parce qu'on démontre qu'il ne peni v avoir quatre nombres carrés en progression arithmétique, ce ([ui, dans le cas d'une solution, aurait pourtant lieu, en prenant l'iinilé comme le premier de ces quatre carrés; au point de vue de la méthode, parce que, quand bien même la triple équation serait jiossible en elle-même, on ne peut la résoudre parla méthode exposée ci-dessus, puisque le plus grand coelficient de l'inconnue est égal à la somme des deux autres.

12. Kniin, il faut entendre l'exception comme n'ayant lieu que si le ternie connu est un même carré dans les trois expressions; car autrement, si les termes connus étaient des carrés dllférents, le plus grand

:5GG ŒUVlîES DE FERMAT.

coelHcient de x peut très bien être la somme des deux autres; par exemple, pour la triple équation

,11] I I 269 o.So

notre mi-thoue donne la valeur x = ,, „ •

Une triple e^/ualion peut encore se résoudre sî les expressions sont exclusivement composées de termes en x' et en x, pourvu que les coefficients de X- soient des carrés (positifs^.