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lèles; donc les triangles AVB, VBI sont semblables ''t vïï ~ "m '^^*^*
VRNVAN,. VB^/AN ir\AV^ ^ ^!1 m ~ NR ~ NV' '^ Kl- V^ NR ~ SV ~ VR^' VR ~ S ' '
la proposition est établie.
Proposition III.
« Si une droite est donnée de position en même temps qu'un point su/ elle, si de ce point l'on mène une droite limitée, que de l'extrémité de celle-ci on abaisse une perpendiculaire sur la ligne donnée de position, et que le carré de la menée soit égal au produit d'une donnée et de l'abscisse à partir soit du point donné, soit d'un autre donné sur la ligne donnée de position, l'extrémité de la menée sera sur une circonférence donnée de position . »
Soit AB {Jlg. 29) la droite donnée de position, A le point donné sur elle. Il faut trouver une circonférence de cercle telle que, si l'on prend
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sur elle un point quelconque E, et qu'on abaisse la perpendiculaire El, AE- soit égal au produit d'une donnée et de AI (c'est ainsi (ju'on doit ici entendre l' abscisse, à partir du point donné).
Soit AB la longueur donnée; sur AB je décris un demi-cercle; il est clair d'après la construction que AB x Al = AE*.
Il y a plus de difficulté pour le second cas, à savoir quand l'abscisse part d'un autre point que A, comme dans l'exemple suivant :
Soient donnés les deux points A, B {fig. 3o), et en outre un point E sur la même ligne droite. Soit AB la longueur donnée. Il faut trouver
une circonférence de cercle, soit PIO, telle que si d'un point quelconque I de cette circonférence l'on abaisse la perpendiculaire IR. AF = AB X ER, AB étant la donnée.
Appliquons BA x AE sur la droite BA en excès d'un carré : soit la largeur AP — BO ( ' ). Le demi-cercle décrit sur PO satisfera à la question.
Kn effet, AI" = AR^ + RF. Mais RF = PR x RO et, comme on le prouvera tout ii l'heure,
PR X RO = AR X RB -H OA X AP {= BP x PA =: BA x AE).
Donc AF = AR* -t- AR x RB + BA x AE, ou puisque
AR^+ARx RB = BAx AR, AP=BAx AR + ABx AE.
( ' ) C'est-à-dire construisons AP d'après la condition : AB x AP -h AP^ = BA x AE.
soit, réduisant encore ces deux rectangles en un seul, AI- = BAx ER. Il reste à prouver que PR x RO = AR x RB + PB x BO. En effet, en multipliant entre elles les parties :
PR X RO = PA X RB-hPA X BO(=BO-) + AR x RB +AR x BO(=PA x AR).
Mais PA X AR + PA X RB = PA X AB = AB X BO. Ajoutant B0^ on a AO X OB, c'est-à-dire PB x BO. Donc
PR X RO = AR X RB -f- PB x BO.
Je ne poursuis pas les différents cas, désormais rendus très faciles. Cependant je ne crois pas devoir omettre celui où le point E ne se trouve pas au delà de A, comme ci-dessus.
Soient donnés les deux points A et E {Jig. 3i), et la droite AB ; il faut trouver une circonférence de cercle commcNOR, telle qu'en prc-
Fis. 3,.
nant sur elle un point quelconque 0, et abaissant la perpendiculaire 01, A0= = BAxEI.
Appliquons BA x AE sur la droite BA, en défaut d'une figure carrée ('). Nous aurons le point R; soit BN = AR. Le demi-cercle décrit sur RN satisfera à la question. La démonstration sera semblable à celle que nous avons donnée pour le premier cas.
Proposition IV.
« Si de deux points donnés on mène des droites à un point, et que le carré de l'une soit d'une aire donnée plus grand que dans un rapport donné avec le carré de l'autre, le point d' intersection sera sur une circonférence donnée. »
(' ) C'est-à-dire construisons AR par la condition : AB x AR — AR = BA x AE.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS
AI
Soient A, B {fig. '5i) les deux points, yg 'e rapport donné, BA x AN
l'aire donnée. Soit IZ moyenne proportionnelle entre NI et IB; avec ce rayon décrivez le cercle ZVR, prenez-en un point quelconque V, joi-
X VB^= BA X AN (rapport et aire
lîl
gnez VA, VB. Je dis (|ue AV--
donnés).
Soit en effet VA x AO = BA x AN; joignez OB, NV, VI et menez
