Soit proposé : 20a;' -+■ jx- -+- liox + iG = n
Prenez (4 + oa?) pour racine du carré; vous aurez des deux côtés • les mêmes termes en x et indépendants, et vous obtiendrez x=j comme solution. Cela posé, de cette solution vous en dériverez une autre, en substituant à x, comme précédemment, x -h i dans l'expression proposée 200;^ -h Sx'' -h 'lox -h 16; le résultat de cette substitution est 20 x^ -\- G5 X- -h iio,r + 8i; on doit l'égaler à un carré, dont
on formera comme ci-dessus la racine (9 H a;). On trouvera, comme
valeur de 37, dans la transformée, „— > et, dans la proposée, — tt--
En troisième lieu, de cette solution dérivée du premier degré, on en déduira une du second degré, en substituant x — k-; on aura, comme résultat de cette substitution, une nouvelle transformée que l'on égalera au carré ( — H — -Z ^) > et l'on arrivera, comme solution du V729 3609 J
, , . . I 1 177 Soi 355 266 second degré, a la valeur -^ ^ •
^ 2110 oio 722
25. Supposons maintenant le terme en x' carré, et soit proposé :
Prenez pour racine du carré : (x'^ -\- 2.x), de façon à éliminer les deux termes de plus hauts degrés. Il viendra : 70;- =2^;, d'où, en
dehors de l'unité qui est une autre solution, la valeur x=-- On
pourra donc substituer à x, soit x -h --^ soit x -h i, pour obtenir des racines dérivées.
26. L'absence d'un des termes intermédiaires n'empêche pas d'égaler à un carré une expression composée de quatre termes. Ainsi l'expression iG + 24a;" + i6a;^ -I- Sx* peut être égalée au carré (4 + 3a;-)^,
Fekjiat. — 111. 49
38G ŒUVPxES DE FERMAT.
co qui donne x = !i, d'où l'on pourra substituer :r + 4 pour obtenir une solution dérivée.
De même, si l'on propose a;^ + Gooa;'+ Soooa- -t- 5oooo, on formera le earré (œ- -+- 3oo)-, et l'on obtiendra a; = 5. On pourra donc substituer j; + 5 pour obtenir une solution dérivée.
0/1 peut cgciler à un cuJic une expression composée de quatre termes, pourvu que le terme indépendant de x, ou bien te coefficient de x\ soit un cube.
2T. A cet effet, si le terme indépendant de x est un cube, on en prendra la racine cubique comme terme indépendant de la racine du cube à égaler. On divisera ensuite, par le triple carré de cette racine cubique, le coefficient de x dans l'expression proposée, et on aura ainsi le coefficient de x dans la racine du cube à former; la racine cubique et le quotient doivent d'ailleurs être affectés des signes convenables. Ainsi soit proposé d'égaler à un cube l'expression ix^ + x"^ -\- 3x-+ i; on prendra, pour racine de ce cube, 1+^7(1 étant la racine cubique de l'unité, et x le quotient de l>x pour 3, qui est lé triple carré de i). En égalant à l'expression proposée le cube de cette racine, à savoir x^ + 3a;- + 3a; 4- I , on aura x = 1, et en substituant x -{- -2. a x, on pourra obtenir la solution dérivée.
28. Si c'est le coefficient de x^ qui est un cube, on prendra sa racine cubique comme coefficient de x, et en divisant par le triple carré de cette racine le coefficient de x- dans la proposée, on aura le terme indépendant. Ainsi soit proposé d'égaler à un cube
on prendra, pour racine du cube, 20;+ 2 (2a; étant la racine cubique »le 8a;' et 2 le quotient de 24 par 12, triple du carré de 2); le cube de cette racine sera 8a;' + 24a;^4- 24a;+ 8; en l'égalant à la proposée,
on obtiendra a?= — , et l'on passera ensuite au calcul des solutions
dérivées.
Si le coejficicnt de x^ cl le terme indépendant sont tous les deux des cubes, il Y a trois manières d'égaler à un cube l'expression proposée.
29. Soit proposé, par exemple, d'égaler à un cuhex^-\--2x--\-l\x-hi. Si nous prenons, pour racine du cube, x -\- i (c'est-à-dire la somme des racines cubiques des deux termes cubes), on aura à égaler l'expression proposée h. x' -h -ix' -h 3x -h i, d'où .r = i. Nous pouvons
encore prendre, pour racine du cube, x -h ~ de façon îi éliminer li's
termes des deux degrés les plus élevés; l'équation ne subsistera di's lors qu'entre les termes des deux degrés inférieurs, et l'on en déduira
a; = -• Enfin on peut prendre (ï-i-^x\ de façon qu'au contraire
il ne subsiste dans l'équation que les termes des deux degrés supérieurs; on obtiendra ainsi la solution a;= — ^; chacune de ces (rois racines primitives fournira des dérivées, comme ci-dessus.
Réserve sur ce qui vient d'être dit.
30. Toutefois il peut arriver qu'une expression composée de quatre termes, dont l'un des extrêmes est cube ou dont les deux extrêmes sont cubes, ne puisse pas être égalée à un cube; c'est dans le cas où, après la réduction des termes semblables, l'équation subsiste entre trois termes (') ou bien où l'on n'a plus qu'un seul terme égalé à zéro. Ainsi soit proposé : i -1- 3a' -f- 3x- -+- 4-c' ; on ne peut procéder autrement (|u'en formant le cube (i + o-)^; mais l'équation se réduit ii 3a;^ = o; il est donc impossible d'égaler à un cube l'expression proposée. De même, soit proposé : x^ -+- ix- + 3a; + i ; on ne peut trouver qu'une seule solution immédiate et primitive, en prenant, comme racine du cube, ^ + 0; car si l'on prenait a; + i, on aurait a;- = o. Pour
(') Il esl clair que ce n'est pas à supposer.
un motif semblable on ne peut égaler à un cube l'une ou l'autre des
expressions
.r' — 3.r^ — ^jc — I, x^ — 3 .i-- + 3 j? + i .
L'équation se réduit toujours à celle d'un seul terme au zéro.
Douze questions sur ce qui a été enseigné dans cette troisième Partie.
31. Ce que j'ai dit jusqu'à présent fournit une riche matière, d'où l'on peut, comme d'une mine d'or, tirer un trésor de problèmes sans fin. Ainsi on peut demander un nombre tel qu'en le prenant 20 fois, ajoutant 10 fois son carré, 4 fois son cube et enfin l'unité, on ait un carré. Si l'on demande en outre que ce nombre soit plus grand que 8 H plus petit que 10, il faudra nécessairement, d'après ce qu'on a vu plus haut (n° 23), partir de la solution primitive — 3, en dériver une autre
du premier degré : -; puis une du second degré : ; enfin celle du
troisième : -^> qui satisfait à toutes les conditions proposées. Mais ce sont d'autres questions que je veux résoudre ici.
Trouver en nombres ralionels entiers un triangle rectangle, tel que son hypoténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit.
32. J'ai déjà (première Partie, n° 45) résolu ce problème par la double équation ; mais comme il peut être abordé également au moyen d'une expression composée de cinq termes, je vais le traiter de cette seconde manière. D'après ce que j'ai dit à l'endroit précité, je forme le triangle des nombres a; 4- 5 et 12; les côtés sont par suite :
a;'-i- lox + 169, a;^-)-io^ —119, 24-ï^-f-i20.
L'hypoténuse : 3;-+ loa; + 1G9 et la somme des côtés de l'angle droit : x^ -h 3/|a; -h i doivent être des carrés; <C le produit de ces deux expressions, soit a;* + 44^;' -l- 5ioa;- + 67560; + 1G9, doit donc être
un carré > que je forme en prenant pour racine i3 + — -^-c — a;^; il
vient X = - — Tfé-- l) ou, pour les cotes, u après les positions ci-dessus,
les nombres i 061 652 298 52o, 4 565 486 027 761 , 4 687 298 610 289, qui sont les mêmes que ceux trouvés précédemment.
Trouver un triangle rectangle tel que ion ait un nombre donné en retranchant l'aire de la somme de l'hypoténuse et de l'un des côtés de l'angle droit.
33. Soit 4 1(^ nombre donné. Cherchons d'abord un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en retranchant le quadruple de l'aire du carré de la demi-somme de l'hypoténuse et d'un côté.
Soient œ -h i et a; les nombres générateurs du triangle; les côtés seront : ix- -h 2x4-1; ix -h i; ix--h ix. La somme de l'hypoténuse et du côté suivant est ix- -1- '\x -+-2; sa moitié est x- -\- ix -+- 1, dont le carré a?* -+- l\x^ -+- 6j;- + l\x -^ v, diminué de quatre fois l'aire, c'està-dire de 8a;' H- 1 2a;- -1- [\x, laisse comme reste x* — l\x^ — 6a;- -1- i . Égalons ce reste au carré (a;^ — 2a; -i- i )^ — a;* — 4a;' -l- 6a;- — 4a; -4- i .
L'équation donne a;= ^- D'après les positions, les deux nombres
générateurs du triangle seront 5 et ^j. ou, en prenant seulement les
numérateurs, 4 et i; ils donnent le triangle 17, i5, 8. Prenez ces nombres comme coeflîcients do x. Les cotés du triangle cherché étant ainsi supposés être 17a;, i5a;, 8a;, nous aurons l'équation
