NI VI

*^^ VLi— \\) ~ ÎB ' ^'^ sont les côtés d'un même angle dans les triangles NIV, VBl, qui sont donc semblables; donc les angles VNB, BVF

Fi". 33.

BF parallèle à AN. Il faut prouver que

sont égaux. Mais les angles VNB, VOB le sont comme inscrits dans le

même segment (car puisque BA x AN = VA x AO, les quatre points

N, B, V, 0 sont sur un cercle); donc les angles VOB, BVF sont égaux.

Mais les angles OVB, VBF le sont aussi à cause des parallèles. Donc les

OV VB VB ~ BF

triangles OBV, VBF sont semblables. Donc ^ = ttt^ = multipliant de

part et d'autre par le rapport rrïr, on a

AV VB AV AI AV OV AV x VO

VB^'bf °" BF °" Ïb"=Vb''vb"= VB^ '• *-'• '■ "•

Pappus parait avoir omis ici la proposition suivante qui est ana-

logue :

Si de deux points donnes on mène des droites à un point, et que le carre de l'une soit d'une aire donnée plus petit que dans un rapport donné avec

Fermât. — Ul. 5

3i ŒUVRKS DK FEKMAT. 1 3G, n |

II- carré tir l'aulrc. le point d'inlcrsectioii sera sur une circonfcrcncc flonnée.

aire

Soient donnés les deux points A et H {Jlg- 33), le rapport -^. l'a

BA X AT. Soif, entre TN, NB, la moyenne proportionnelle NL; avec ce ravon, (h'-crivcz la circonrérencc de cercle LYZ ; prenez sur elle un [)oin( quelconque Y, joijïncz YA, YB. Je dis que

VA'+ BA X ATidoniic) AN \\V- "NH"

Soil en ellet YA x AB = BA x AT; joianez TY, RB, YN; menez BV

parallèle ii .\Y; comme suite de Tégalilé YA x AB = BA X .\T, on prouvera (|ue les angles YTB, YRB soni égaux el on achi'vera coinnii' ci-dessus.

Proposition V.

(1 ^V de points donnés en nombre quelconque on mé//e des droites à an même point et que fa somme des carrés de toutes ces droites soit égale à une aire donnée, le point sera sur une circonférence donnée de position. »

Soient d'ahord deux points A, \^{Jig. 3/|); menez la droite AB, prenez son milieu eu M; de E comme centre, avec un rayon quelconque VA, décrivez le cercle ION. Je dis que, quelque point 0 que l'on prenne sur la circonférence : AO'-t- 0B'= 2(IE-+ AE-).

En effet, joignez EO, abaissez sur elle les perpendiculaires BV, AZ. Dans le triangle AEO, A0-= AE^H- E0»+ uOEx EZ. Dans le triangle

137,38] LIi:U\ PLANS D'APOLLONIUS. 35

OKB. OE- + KH= = OB- + 2OE x EV(= 2OE x EZ). car EV = EZ. |»iiis(juc AE = EB.

Ajoutant membro à incinbro :

A<)^+ OIV^+ 2OE X EZ :^ (AE^+ EB=) (- aEA^) + 2E0M= 2IE*) + iOE x EZ.

iMg. i'i.

lU'traiicliant (le part et d'autre 2OEXEZ, il reste l'égalité annoncée, cl la [troposition est établie pour le premier cas.

Soient donnés en ligne droite trois points B, D, K (/ig. 35) et soit BD > DE. Prenez CD = i(BD - DE). De C comme centre avec un

rayon quelconque CA, décrivez le demi-cercle AMF, je disque, quelque point M que l'on prenne sur sa circonférence, MB^+ MD- + ME^ sera nue somme constante.

En effet, joignez MB, MG, MD, ME; prenez EN = (]D et joignez MN. Puisque BD-DE = 3CD = 3EN, on a DN + 2GD = BD ou CN + CD = BD. Uetrancliez CD de part el d'autre : CN = BC. Puisque, d'antre part, CD==EN, d'après la seconde proposition de ce livre. CM- + MN- — (D.M^-+-ME-) est constant. Mais CM- est constant. Donc DM- + ME- fera une somme égale à MN* ou plus grande ou plus petite

d'une quanLitc constante. Ajoutez de part et d'autre MB^; d'une part, jMB- + MD= + MES de l'autre BM- + MN- feront des sommes égales ou diirérentcs d'une quantité constante soit dans un sens soit dans l'autre. Mais, d'après la proposition précédente, BM^ + MN- est constant, pu isque B(] = CN, donc BM^ -f- DM^ + EM= est constant. c. o. f. d.

Démonstration générale de la même proposition. — Soient d'abord deux points A, E {fig- 3G); joignez AE, prenez son milieu en C. Soit donnée une aire Z qui ne devra pas être plus petite que AC^-f- CE'; car si elle est égale à cette somme, il est clair que le point C seul satisfait à la (|uestion, et qu'il n'y en aura pas d'autre tel que la somme des carrés (les droites le joignant aux points A, E soit égale à Z.

Fig. 36.

Si Z > AC-+ (^E'S soit BG- égal à la moitié de la différence; de (1 comme centre, avec CB comme rayon, je décris un cercle qui satisfait il la question, .l'omets la démonstration qui est trop simple et a été donnée par Pappus et autres. 11 ne faut pas s'arrêter trop longtemps aux choses faciles.

\a-.\\\\v. i'our la méthode géséuale. — Soient (y7^. 3^) des points donnés

Fig. 37.

I" figure.

2" figure.

3' figure.

A, B, C, E en nombre quelconque. Prenons une fraction Al) de la somme des droites terminées d'une part au point A, de l'antre aux

[:i9, 40] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 37

autros points donnés, fraction conditionnée par le nombre des points, à savoir le quart dans l'exemple choisi. Soit donc