FG X GH = BD X BE

/g X ff/i = Od X be

On demande de trouver le centre de gravité de la figure totale, si toutefois il en a un, et de déterminer, en général, quelles figures de ce. genre en ont un et lesquelles n'en ont pas.

S'il avoue qu'il ne le peut faire, je m'engage à donner la réponse.

Enfin, et après ses autres lettres, j'ai reçu à part du même Fermât quatre Remarques sur mon Arithmétique des Infiais. Je pourrais sans inconvénient les passer sous silence, si votre illustre correspondant ne pouvait penser que je le dédaigne; en tout cas, je suis porté à croire qu'il a écrit ces Remarques à la hâte et sans grande réflexion, que peut-être même, s'il a lu aujourd'hui le reste de l'Ouvrage, il préférerait ne pas les avoir faites; tant on y reconnaît mal la pénétration d'un si grand homme, tant tout y est àTrpofroiovuaa (').

I. Dans l'Epitre, en tète de V Arithmétique des Infinis, j'expose l'his-

(') Ne loucliant pas à la qucslion dont il s'agit. — Les Remarques en question forment la pièce n° 85 do la Correspondance de Fermât.

COMMERCIUM DE WALLIS. kka

toirc de mes recherches et notamment comment j'ai appliqué à mon sujet la Méthode des Indivisibles de Cavalieri. En effet, de même que :

La raison de la somme de tous les cercles dont se compose (au sens de Cavalieri) le conoïde parabolique à la somme d'autant de cercles du cylindre est la raison du conoïde lui-même au cylindre; et que la raison des sommes respectives de tous les diamètres de ces cercles est la raison de la parabole au parallélogramme; raisons qui sont connues l'une et l'autre;

Que la raison de la somme de tous les cercles dans le cône h celle de tous les cercles dans le cylindre est la raison du cône au cylindre, et que la raison des sommes respectives des diamètres de ces cercles est la raison du triangle au parallélogramme; raisons qui sont encore connues l'une et l'autre;

De même, la raison de la somme de tous les cercles dans la sphère à la somme de tous les cercles dans le cylindre est la raison de la sphère au cylindre, et la raison des sommes respectives des diamètres de ces cercles est la raison du cercle au parallélogramme; ce que Fermât d'ailleurs ne nie aucunement.

Mais ici la première raison est connue depuis longtemps, la seconde ne l'est pas. J'ai donc dit que je me proposais de chercher si par quelque moyen je pourrais, en partant de celle qui est connue, arriver à celle qui est inconnue jusqu'à présent.

Fermât réplique : « Mais elle ne peut être connue, à moins de connaître la quadrature du cercle. » Ce qui est parfaitement juste; carrer le cercle c'est précisément trouver cette raison, et du moment où je me proposais de la chercher, je me proposais de chercher la quadrature du cercle. Au reste, je l'ai dit là-même en propres termes.

II. J'avais dit, après avoir indiqué la formation de la série des

nombres

I, 6, 3o, i/jo, 63o, . . .,

que je cherchais quel terme moyen devait être intercalé entre i et G.

Il répond que le moyen géométriquement proportionnel ne satisfait

pas à la question, comme n'ayant pas correspondance avec les autres

termes tlo la progression. Ce qui est jusle, puisque la série exposée n'esl pas formée de termes en proportion géométrique; le moyen terme cherché ne peut donc être un moyen géométriquement proportionnel.

Mais quand il infère, de ce que le moyen géométriquement proportionnel ne convient pas, qu'aucun autre ne peut convenir, il n'y a pas même là une ombre de raison; pas plus que s'il avait avancé la même

chose sur la série

I, G, II, i6, ....

Personne n'ignore qu'entre i et G on doit intercaler le moyen

terme 3-> non pas comme moyen géométriquement proportionnel,

mais comme le moyen que comporte la série d'après sa nature, c'està-dire le moyen arithmétiquement proportionnel. De même, dans la série des nombres triangulaires

si quelqu'un alfirmait qu'entre i et G il ne peut y avoir de moyen terme comporté par la série, par ce motif que ni le moyen arithmétique, soit 3-) ni le moyen géométrique, soit y/G, ne conviennent,

il est certain qu'il se mécompterait puisqu'il y a un terme intermédiaire, le nombre triangulaire 3 que comporte la série; de môme qu'entre 6 et i5 on doit intercaler lo. Si maintenant dans la série

on demande quel terme intermédiaire convient entre i et 3, j'ai

montré, page 175, que c'est i ^•

Mais, comme l'interpolation dans de pareilles séries revient tri's fréquemment dans tout le Livre, surtout depuis le scholie de la proposition 16r) jusqu'à la fin; comme c'est, en fait, l'objet principal de tout l'Ouvrage, il eut été impossible, s'il l'avait lu entièrement et

COMMERCIUM DE WALLIS. h.'*7

([u'il eût tant soit peu réfléchi, qu'il pensât que je voulais parler de moyen géométrique proportionnel.

Au reste, j'ai entrepris, entre autres, l'interpolation de cette même série

et j'ai montré, proposition IG7, que le terme moyen ;i intercaler entre I et6 est 20; ce que signifie ce symbole, je l'ai complètement expliqué sur la proposition 191 (').

III. J'avais dirigé la recherche dans le premier lemmc (prop. l) de telle sorte qu'elle fût conforme ii la marche ti suivre dans les autres lemmcs semblables, mais plus compliqués, des propositions 19, 39, 43, etc., et qu'ainsi elle pût les éclairer.

Fermât montre, par une longue discussion, (|u'il est capable de donner une autre démonstration. Je n'en aurais douté en aucun cas; car qui donc, même arithméticien de trivio (ii plus forte raison un tel homme) peut ne pas savoir prendre la somme d'une progression arithmétique? Je ne pense pas qu'il se figure que je serais dans ce cas; je le renverrais à la Prop. 2 Con. SecL et à la proposition 45 du Chapitre XXVII de ma Malhcsis Universalis.

Je dois faire remarquer à votre très subtil correspondant que, dans l'endroit dont il s'agit, je ne m'occupe pas de démontrer la proposition (]ue j'ai énoncée, mais du moyen de découvrir la chose demandée, comme si elle était inconnue; je veux, par cet exemple de recherche dans une question facile, préparer à des recherches semblables dans des questions plus difficiles.

S'il avait voulu que sa remarque portât, il aurait dû montrer qu'il n'y avait pas là une méthode légitime de chercher une chose inconnue; il ne l'a point fait; il avoue même qu'elle est utile pour chercher des choses cachées, toutefois avec les précautions nécessaires. Mais il ne niera pas, je pense, (juc la quadrature du cercle, que je cherchais

(' ) Le symbole □ do Wallis signifie le rapport du carré du diamètre ù la circonférence voir, Tomo II, la noie do la page 3.i8.

entre autres, ne soit chose assez cachée; il n'indique nullement, (l'autre part, que j'aie employé cette méthode avec assez peu de précaution pour commettre une erreur; je ne vois donc pas à quel titre il peut justement blâmer ma méthode de recherche.

Voulait-il qu'après avoir légitimement découvert la chose, je la contirmasse a posteriori par des démonstrations apagogiques? J'ai sullisamment dit pourquoi je ne le faisais pas, tant à la proposition 2, Con. Secl. qu'à la proposition 43, Arilh. Infin. et ailleurs. C'est que je n'en sentais pas le besoin, et je ne le sens pas encore.

IV. Enfin, lorsque, sur la proposition 2, il indique que la restriction serait laite à tort, votre clarissime Correspondant se trompe absolument sur le sens de ce que j'ai dit; il n'a pas assez fait attention à mes paroles.

.l'ai affirmé cette proposition dans toute sa généralité, et je crois l'avoir démontrée généralement, en tant que besoin était; en tous cas, elle ressort de la recherche précédente. Oui, il est universellement vrai, et je l'ai universellement affirmé, qu'une somme de termes arithmétiquement proportionnels, commençant à o (série qui sera toujours comme o, i, 2, 3, ...) quel que soit le second terme, sera toujours, comme i est à 2, à la somme d'autant de termes égaux au plus grand. Et cela est vrai sans aucune restriction.

Mais j'avais ajouté, à titre d'explication ou, si l'on veut, comme corollaire :

Si l'on pose a pour le nombre des termes, / pour le dernier, ([uel

que soit le second, la somme de tous les termes sera -al, c'est-à-dire ' 2

la moitié du nombre des termes (-«) multipliée par le dernier terme (/).

Cela est encore affirmé sans restriction. Mais j'ajoutais :

Si d'ailleurs le second terme est i (et autrement, il n'en serait pas

de même), le nombre des termes sera /-i-i, c'est-à-dire supérieur

d'une unité au dernier terme. Dès lors la somme des termes sera

— - /; car dans ce cas vaudra autant que -a, la moitié du

COMMEIÎCIUM DE WALLIS. 4i9

nombre des termes, laquelle, multipliée par /, le dernier terme, doit donner la somme totale.

Or que dans ce cas, le seul que j'aie énoncé sous restriction, il l'aille bien en faire une, votre très savant Correspondant ne peut le nier. S'il est vrai que, par exemple, dans la progression

dont le second terme est i, le nombre des termes est /-t-i, c'està-dire /| -I- I = 5, dans une autre, dont le second terme ne soit pas i,

comme

le nombre des termes n'est pas /+ i, c'est-à-dire 8 + i, mais bien

Or mes expressions ne peuvent avoir aucun autre sens, et on ne peut les interpréter autrement sans leur faire une violence excessive. Car, après avoir affirmé en général qu'M«e somme de termes arilhméliquemenl proportionnels et commençant à o est à la somme d'autant de termes égaux au plus grand comme i est à 2, j'ai immédiatement ajouté iMi toutes lettres : A savoir, si le premier terme est o, le second i {car autrement la conclusion devrait cire modifiée), et si le dernier est l, la

somme sera / (car, en ce cas, le nombre des termes sera l + \)\ ou

autrement (en posant a pour le nombre des termes, quelle que soit d'ailleurs la valeur du second) ~al.

Cela est dit si clairement qu'il est étonnant que quelqu'un, pourvu ((u'il y fasse sullisamment attention, puisse le mal comprendre. On n(^ peut donc qu'attribuer à la précipitation qui l'a entraîné, que votre illustre Correspondant ait pu se méprendre sur ce que je voulais dire, alors qu'il a d'ordinaire une telle pénétration et une telle tinesso d'esprit.

Voilà ce que je pense devoir dire sur ces Remarques, pour ne pas paraître les mépriser. Mais si Fermât a depuis trouvé assez de loisir pour examiner à nouveau ces questions et pour y réfléchir un peu itnHAT. — ni. ^7

hm ŒUVRES DE F EU M AT. - TUA DUC T IONS.

plus attentivement, je ne doute pas qu'il n'ait déjà de lui-même trouvé satisfaction.

Votre très noble Correspondant a pris plaisir à provoquer en champ clos (on peut le voir dans ses lettres), non pas un ou deux malhémalicicns du commun, mais et l'Angleterre tout entière, et. la Ikdgiquc et le reste de la Gaule, sauf la Narbonnaise; il ne trouvera dès lors pas mauvais, je crois, (}ue nous lui rendions la pareille; et cela, non pas sur une bagatelle, mais sur une question oîi personne ne puisse nier (]ue le nœud ne soit digne d'une telle main, ni, s'il le dénoue, que la chose en valait la peine. Je ne veux donc pas parler de la question par laquelle j'ai répliqué ;i sa premii^'c et qui est de même nature; ce n'est pas un sujet qui me semble mériter une anxieuse application. Je ne pense pas davantage à la question du tronc de cône; comme je l'ai dit alors, je ne l'ai pas proposée comme diincile, mais comme élégante. Pas davantage à celle qu'il a rappelée dans sa lettre, ii savoir :

Etant donnée la série des nombres

I, 6, 3o, \[\o, 63o, clc,

trouver entre i et (> le terme intermédiaire que comporte la série.

(cependant c'était là, à le proposer pour la première fois, un problème sulfisamment ardu, puisque mémo encore votre très noble (^or-respondant le considère comme insoluble. Mais puisque j'en ai déjii donné la solution dans un livre publié par moi, je n'ai pas à le proposer de nouveau.

Toutefois j'en choisirai un tout semblable; à savoir :

Etant donnée la série des nombres

I, ,:■) 5-) —7-' ".tt; — ' ' Clc,

() 00 140 Ojo 2772

troui-er entre i et j: le terme intermédiaire que comporte ta série.

Qu'il ne pense pas là-dessus, comme il semble l'avoir fait pour l'autre série, que je demande une moyenne géométrique pas plus

COMMEIICIUM DE WALLIS. 451

qu'une moycnue aritlnnctique; je ne lui demande pas de tant s'appliquer pour trouver — ou \/,-; il s'agit d'un terme convenant à la nature de la série et ayant correspondance avec tout l'ensemble. H ne lui sulllra pas non plus de dire que ni la moyenne géométrique, ni la moyenne arithmétique ne conviennent à la série; car on ne demande pas quel terme ne convient point, mais quel est celui qui convient.

Qu'il ne croie pas non plus que je lui propose cela comme plaisanterie, et que ce soit une bagatelle; s'il résout légitimement cette question, je promets en retour un enjeu assez précieux, lu quadrature de l'hyperbole. Et si la Gaule Narbonnaise ne le peut, ce sera fourni ii quehjue jour par l'Angleterre, grâce à la faveur divine.

Mais il y a déjà trop longtemps que j'ennuie votre Seigneurie, et ({uc, rendu trop audacieux par votre clémence, j'enfreins les lois de l'urbanité; et cela à tel point que je ne pourrais, sans une faute nouvelle, im[)lorer le pardon de celle que j'ai commise. I\lais du moins il nie reste l'espoir que, dans votre insigne complaisance, vous daignerez interpréter avec assez de bienveillance ce que j'ai pu mal faire, pour (jue je ne sache pas trouver auprès de vous un meilleur avocat (jue vous-même, un meilleur défenseur, soit de moi, soit de notre nation. C'est dans cet espoir que j'ose encore, m'appuyant sur votre

faveur, me dire.

Très insigne Seigneur,

Votre très obéissant et très respectueux,

J. Wai.lis.

, „ , xi iiovenilirc „ , Oxford, 1 — i(>37.

J ni cru à pr-opos d' ajouter ici, pour (pie lu question tout entière soit plus complètement exposée au lecteur, ce (pii aètèindupic. ci-dessus comme omis ou change dans la lettre précédente, au sujet du centre de gravité (voir page /j/ii, ligne 4. " P'''gc 444. ligne ii : suit une première rédaction).

Fermât exige de moi que je fournisse le centre de gravité dans toutes les hyperboles infinies (jui peuvent en avoir un, et que je dis-

!^o■î ŒUVRES UE FEllMAT. - ÏR AD.UCTIONS.

lingue celles qui en ont d'avec celles qui n'en ont pas. Il désire qu'au

moins j'envoie la proposition générale, même sans démonstration.

Je ferai ce que demande votre très noble Correspondant, et même, ee qu'il ne demande pas, j'ajouterai la démonstration; il verra ainsi (lu'elle procède directement de l'art d'invention que j'ai exposé.

Voici la proposition :

Si il l'axe AD (^g. 3), dont le sommet est A, se trouve rapportée (des deux cotés), une ligure soit plane, soit solide, dont les ordon-

nées (soit des droites, soit des surfaces planes semblables) forment une série de termes soit égaux, soit suivant les premières, secondes, troisièmes, etc. puissances, soit suivant les sous-secondes, sous-troisièmes, etc., soit quelque autre série formée de tels termes combinés entre eux comme on voudra, soit enfin une série réciproque de l'une (]uelconque des précédentes (ce qui comprend ce qu'il appelle hyperboles infinies); (jue l'on divise l'axe AD au point C, en sorte que ^ soit égal au rapport de l'unité ii l'indice de la série augmenté de l'unité; C sera le centre de gravité de la ligure.

Si la série est telle que l'axe puisse être divisé de la sorte, la figure aura un centre de gravité; autrement, non.

Pour que l'axe puisse être ainsi divisé, il faut que l'indice de la série soit plus grand que — i; autrement non.

Suit la démonstration :

Supposons d'abord que le point A du sommet soit au centre de suspension de la balance, et que l'axe AD soit dirigé suivant les bras de cette balance.

COMMEUCIUM 1)J-: WALLIS. 45:î

Soit/j riiulicc lie la sério suivant laquelle procèdent les ordonnées (droites ou surfaces planes); cette série sera donc, comme t à/> h- i, à la série des termes égaux correspondants, en partant de A.

Il est clair, d'autre [)art, que leurs distances au sommet, donc au centre de la balance, sont proportionnelles aux abscisses (ou plutôt sont ces abscisses même); c'est donc une série de termes de la i)n'mièrc puissance, dont l'indice est i.

Or la raison des moments entre eux est composée de la raison des grandeurs et de celle de leurs distances au centre de la balance. La série des moments, composée dès lors des deux séries correspondantes, aura donc pour indice p -hi, qui est la somme des indices des séries composantes.

Par conséquent, la somme de tous les moments (c'est-à-dire le poids de la figure entière ainsi suspendue) sera ii la somme d'autant de moments égaux au dernier (c'est-à-dire à la figure correspondante;

formée de termes égaux, et suspendue en D) dans le rapport ^■

Si donc, sur l'autre bras de la balance, on prend le point P en sort(.'