AP I

que -7-,. = > et qu'on v suspende cette figure correspondante

formée de termes égaux, elle fera équilibre à la figure proposée, suspendue comme auparavant, et le centre de gravité des deux poids ainsi suspendus sera le point A.

Si donc on supprime le poids suspendu en P et qu'on prenne C, eu

sorte que = -rrr (c'est-à-dire les distances dans le rap[»ort inverse des grandeurs), ce point sera le centre de gravité du second poids.

.Mais AP= — ^AD; donc AG = ^^^^ AP = ^^^^ AD ; dès lors

CD = AD et TTTT = c. Q- r. i>-

Si maintenant /> est — i ou < — i (comme — 2,-3, etc.), p -h i (c'est-à-dire alors — i-f-i, — 2 + 1, — 3 + 1, etc.) sera soit o, soit moins que.o; il n'aurait donc aucun rapport avec l'unité.

D'où ressort la distinction.

VaV ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.

Format dira peut-être : « De cette manière on trouve bien le centre (le gravité (entre autres) des mômes figures que j'appelle hyperboles infinies, mais non pas dans la morne situation. » Kn efTot, il ne les suppose pas prolongées à l'infini di-s deux côtés du diamètre limité AD, mais dos doux côtés du diamètre infini Ao; or c'est dans cette position ([u'il demande le centre de gravité.

.l'avoue que cela est vrai; mais je réponds que ma spéculation n'est pas moins curieuse que l'autre, et si je ne me trompe, elle est nouvollo ; je ne sache pas du moins que Format ou quelque autre l'ait déjà, jo no dis pas atteinte, mais seulement entreprise. Au reste, afin qu'il ne so plaigne pas que jo ne lui aie point donné satisfaction, puisqu'il «lemandait le centre de gravité dans une autre situation, jo no roCnsorai pas de m'astreindre à lui répondre, même sur ce point.

Les droites parallèles à AAû {Jig- i) (tant dessous que dessus) formont une série réciproque d'une directe dont l'indice sera /;, par

l'iff. 1.

oxeniple. Cette série réciproque aura donc pour indice — [>■ domino d'autre part les moitiés sont proportionnelles aux enti(îrs, les moitiés <lc c-cs droites parallèles formeront de même une série d'indice ~ p; et par conséquent les milieux de ces droites ou leurs centres do gravité devront être regardés comme suspendus ii la balance Ao à dos distances du centre de la balance A, proportionnelles aux grandeurs dos droites elles-mêmes. Donc les moments, dont la raison est composée do colle des grandeurs et de celle des distances au centre de la balance.

seront cux-inômes cil raison double des grandeurs; ils l'ornicronl donc une série réciproque d'indice — ip.

Ainsi la ligure totale sera au parallélogramme inscrit comme \ ii — p + i; et la somme des moments de l'une sera à la somme des moments de l'autre (dans cette situation) comme i à — -ip -\- t. Mais le centre de gravité du parallélogramme est, comme on sait, en son point milieu, le parallélogramme inscrit doit donc être regardé comme suspendu au milieu di; AA, soit en M, dont la distance au centre de la

hahmce est AM = - AA.

Mais le poids de la ligure totale, dans sa position, étant au poids du parallélogramme inscrit, dans sa position, comme i à — ip + i, si l'on prend sur l'autre bras de la balance, au delà du centre A, la droite AP qui soit à AM comme i à — ip -+- i, le parallélogramme suspendu en P fera é(|uilibre à la ligure totale suspendue comme

auparavant. D'autre part, la grandeur de la ligure totale étant à celle

I Al*

du parallélogramme comme i à —i)-h\, si l'on fait = --t)

(\ étant pris sur l'autre bras que P, et les distances étant réciproquement proportionnelles aux grandeurs, ce point C sera le centre de gravité de la figure proposée.

Mais AP= ' AM et AC = ^-^^^ AP = ~ ^ '^ ' AM. Par

— 2/^4-1 1 — ip -H I

conséquent,

I — 3/> AM T— p ^ AC '

Il faut donc que i >> ip ou /> < -> autrement i — -ip serait nul, ou

même moins que rien.

Je dis donc (^seconde, proposition^ que :

Si de part et d'autre de l'axe inlini Ao, dont le sommet est A, se trouve une ligure plane, telbî que, par rapport ;i l'axe conjugué DA«/, limité de part et d'autre et également prolongé à partir de son milieu A, les ordonnées forment une série réciproque quelconque (dont l'indice sera, en tout cas, négatif), — c'est là ce que Fermât appelle

VoC ŒUVRES J)E FERMAT. - TRADUCTIONS.

hyperboles infinies, — si l'on prend un point C, tel que le rapport thi double de l'indice de la série plus l'unité au même indice, plus l'unité, soit celui de AM (distance du sommet au point milieu du paralléloiçramme inscrit) à AC (pris du même coté sur l'axe Ao), ce point C sera le centre de gravité de la figure, si toutefois elle en a un. Or elle en

aura un si l'indice de la série est supérieur à • , autrement, non.

On peut remarquer au reste que le même mode de raisonner s'appli- (|uerait absolument, même si les deux semi-hyperboles DAc, dko, au lieu d'être disposées des deux côtés de la droite Ao, de façon \\ produire une figure hyperbolique infinie en pointe, comme ici, étaient situées de part et d'autre de la droite DB, mise en coïncidence avec db, de façon à produire une figure avec creux. Au lieu de chercher, comme tout il l'heure, le point C sur la droite Ao, on le chercherait de la même manière, mais sur la droite DB prolongée.

On arriverait encore au même résultat pour une figure composée de deux semi-paraboles ou semi-paraboloïdes, semblables et semblablenient placées, soit de façon à être tangentes à Ao au sommet commun, soit à avoir DB comme base commune. On aura, en effet, toujours

!/'-+-! . 1 -, - AM .. . DM

— ci^al soit a -r-v soit a 7777-