LETTRE XVII

John Waii.is a \'ic(»mte ISrouncker.

Très illustre Seigneur, puisque vous le demandez (et je ne puis qu'obéir à de tels commandements de votre part), je vais formuler, aussi brièvement que possible, la méthode de rechercher les nombres requis pour la solution du problème de Fermât, telle que nous l'avons prati(|uée jusqu'à présent; j'indiquerai en même temps et le fondement de cette méthode et, lii où il conviendra, les divers abrégés des opérations, puisque, autrement, la recherche peut tourner en longueur.

Le problème demande que : étant donne un nombre quelconque non carré, soit n, on troia'c un nombre carré, soit a-, tel que son produit par le nombre donné, étant augmenté de i unité, fasse un carré, soit

De plus, il fa ut fournir une infinité de carrés tels que a'-, quel que soit le nombre non carré n qui soit proposé.

Alors qu'il n'était nullement question de nombres entiers, nous avions déjà résolu ce problème en fournissant tous les possibles, tant entiers (jue fractionnaires. .M. Fermât a ajouté après coup qu'il ne voulait que des entiers; ainsi il a demandé qu'on fournisse une infinité de carrés entiers satisfaisant à la condition. C'était changer complètement le problème primitivement proposé en un autre d'une tout autre l'iiniiAT. — m •)b

kaS ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

nature. Néanmoins, j'ai cru devoir admettre ce changement et aborder la question en nombres entiers. Voici le résultat :

.l'ai^jugé devoir partir de la règle générale précédemment énoncée. A savoir, si nous appelons n un nombre donné quelconque (carré ou non carré, entier ou fractionnaire); q un carré quelconque; d sa différence avec n; ^ sera un carré requis. Nous avons déjà démontré antérieurement que non seulement cette ri'gle est vraie et donne une infinité de carrés satisfaisant ;i la condition, mais encore qu'elle donne absolument tous les possibles tant entiers (jue fractionnaires.

Cela posé, pour la nouvelle condition ajoutée, il suffit de faire que

^, et par conséquent sa racine ~, soit un nombre entier, ou autrement que d soit une partie aliquote du nombre 2R. Toutes les fois, en effet, qu'il en est ainsi, le carré fourni par la règle est évidemment un nombre entier.

Or, ayant un entier de ce genre, une méthode sûre en donne aussitôt une infinité d'autres, pour ne pas dire tous; ce qui sera exposé plus loin. Cependant, comme il peut se faire, ce qu'il ne faut pas dissimuler, que 2R soit un nombre fractionnaire, même quand ^ est entier, nous poserons

el, par conséqiicnl,

et aussi

rf = 1 17 — Il

Ainsi ce sera la même chose de diviser soit 2R par d, soit -^ par — — ' ou, en multipliant de part et d'autre par r-, 25r par |/?/'- — .v-|.

Par conséquent, si, d'une manière quelconque, on trouve, entre le produit du nombre n proposé par un carré quelconque et un autre carré, une différence qui soit une partie aliquote du double produit des racines de ces deux carrés (c'est-à-dire si | nr- — s- \ est partie aliquote du nombre is7-), le quotient de ce double produit par cette différence donne un nombre entier, racine du carré cherché.

COMMEIICIUM DE WALLIS. ioîl

Vous direz : Mais comment trouver ce carré dont il faut partir, el (|ui, multiplié par n, doit différer d'un autre carré d'une partie aliquotc de ce double rectangle? C'est ce que je vais exposer maintenant à ma façon.

L'entier « proposé étant non carré, soit le carré entier immédiatement supérieur

Si l'on multiplie le nombre n par un carré quelconque, soit a-, on

aura

na'-^ c'a- — ba- =z (en)- — b.a-.

C'csl-à-dire que le nombre donnée, multiplié par le carré du nombre», donne pour produit le carré du même nombre a pris autant de fois (|u'il y a d'unités dans la racine du carré immédiatement supérieur au nombre donné, moins le carré de ce même nombre a, après sa multiplication par la différence 0 entre le nombre donné et le carré immédiatement supérieur.

Par exemple, soient : n = ■y et, par suite,

t" = 3 ^ y/ç) et /> =r C- — Il ^ 2.

Quel que soit maintenant le nombre pris pour a, on aura

na"-^ c-a- — ba"-^ (en)" — b.a-,

c'est-à-dire

7«-:= (3rt)- — la-.

Si nous prenons dès lors, pour a, les nombres successifs : i, 2, 3, '1, etc., on aura un Tableau comme celui ci-contre, où il est clair que les nombres a du premier membre : t, 2, 3, 4, etc., étant en progression arithmétique, les nombres ca du second membre : 3, G, 9, 12, suivront également une progression arithmétique, dont la raison constante sera c= 3, et enfin les nombres ba- qui viennent en troisième ligne, 2, (S, 18, 32, etc. (multiples égaux de nombres carrés consécutifs), auront des différences suivant une progression arithmétique dont

mO ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

la raison sora 2 h :

Va\ clfet, on sait que les carrés consécutifs se forment par l'adtli- (ion continue des nonil)rcs iin[)airs 1 -1- 3 4- "> -f- 7, etc.

I =1, /i = 1 + 3, () = I + 3 + .'), iG = I + 3 + 5 -)- -,

Par suite, leurs différences croissent suivant une progression arithmétique de raison 2; dès lors leurs équimultiples auront des dilTérences croissant suivant une progression arithmétique dont la raison sera ré(jnimultiple de 2. On a, en efTot, évidemment

kb — \b + T,b,

De ce fondement dépendent toutes les relations qui suivent pour les progressions arithmétiques, et il sera inutile de le répéter davantage par la suite.

Cela posé, si /» = !, il est clair que le nombre a=^\ est un des carrés cherchés; car alors

na^^ c'a'- — ba°--^c-—i:

COMMERCIUM DE WALLIS. iUl

C'est ce qui arrive pour les nombres 3, 8, i5, etc., inférieurs d'une unilé à un carré.

Si maintenant h est supérieur ii l'unité, il est clair (jue ha' l'est également, et (ju'on chercherait vainement le nombre i dans la colonne correspondante des nombres à retrancher (quoique, ainsi ([u'on le dira plus loin, il puisse s'y trouver parfois un nombre qui v conduise).

Il faudra donc passer à une seconde colonne et de là à une troisième, une quatrième, etc., suivant les exigences de la question, jusqu'à ce ([ue l'on trouve enfin le nombre t dans quelque colonne, ou du moins un autre nombre qui y conduise, comme je l'expliquerai plus loin.

Or on passera à une colonne suivante, dès que, dans la colonne considérée, le nombre à retrancher sera égal ou supérieur au double de la racine du carré adjacent. Alors on prendra la racine immédiatement inférieure, et l'on diminuera le nombre à retrancher de la somme des deux racines :