oi=i
Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, relatif au nombre 7, on trouv(! à la
troisième ligne
(Jr 18 est double de la racine de l'adjacent 9; par suite dans la co-
kGi ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.
lonne suivaiile, à 9-— 18, je substitue 8-— i, et je rencontre immédiatement, comme nombre à retrancher, 1 que je cherche. Dès lors, h^ carré du nombre 3 est un des carrés cherchés; et, en elTef,
Si je continue dans hi même colonne, je trouve à la sixième ligne 17- — 37, à quoi je substitue dans la colonne suivante, iG- — 4. puisque
(et ainsi toujours. Car la différence de deux carrés immédiatement consécutifs est égale à la somme de leurs racines). Je vois donc ainsi que
t)r, comme le nombre à retrancher, 4- c^t partie aliquote de la racine adjacente i(J, il est clair que ce même nombre 4 est, a fortiori, partie aliquote du double produit des racines G et iG. Si donc je divise par 4 le nombre 2 x G x iG = 192, le quotient 48 sera racine d'un autre carré cherché. En ellet,
On a donc ainsi un autre carré cherché; mais immédiatement au début, nous avions, dans la première colonne,
on il est clair que le nombre à retrancher 8 divise le double produit de 2 et G;
2x2x6 = 24 cl — ?=3,
racine d'un carré déjà trouvé.
Encore dans la même colonne, quatrième ligne, on a
et comme le quotient par 32 de 2 x 4 x 12 = 9G est 3, on retrouve pour la troisième fois la racine du même carré déjà connu. En y fai-
COMMEUCIUM DE WALLIS. 163
s;int attention, on reconnaîtra que cette colonne donne souvent coup sur coup le même résultat, car il se présente à toutes les lignes paires ou dont le rang est multiple de deux. Mais bien plus, dès la première ligne où le nombre à retrancher, 2, est partie aliquote du double produit 2 X I X 3, le quotient est encore ce même nombre 3; toutes les lignes de la première colonne devront donc fournir cette même racine pour le carré cherché.
Il faut noter que non seulement les différences G, 10, i/|, 18, etc. de la première colonne, mais encore celles de la seconde, 8, 12, iG, 20, etc., de la troisième, i/j, 18, 22, 26, etc. et ainsi de suite dans toutes les autres, sont en progression arithmétique, avec la même, raison \ que dans la première; il est donc très facile de prolonger une colonne quelconque, sans avoir à s'embarrasser d'aucune extraction de racine.
D'autre part, ces mêmes différences, prises obliquement, comme 10 et 8, i4 et 12, ou 18, iG, i/j, etc. sont toujours en proportion arithmétique, et leur commune différence est toujours 2 (ce qu'on reconnaîtra d'ailleurs, mulatis mutandis, quel que soit le nombre // proposé). 11 est donc de même facile de passer de colonne à colonne.
Il l'est encore, pour les mêmes raisons, de donner ii volonté un nombre quelconque, dans une colonne quelconque, sans calculer les intermédiaires, ou encore, si cela parait expédient, d'effectuer les opérations par bonds. Mais tout cela se présente de soi-même à qui a une pratique suffisante de la nature de la progression arithmétique, et il n'est pas besoin de le prouver plus longuement.
Au reste, ce que j'ai montré jusqu'à présent, en prenant le carré cplus grand que le nombre n proposé, arrive également en prenant le carré inférieur. Je ne veux pas dire que l'on obtienne immédiatement le nombre cherché (comme dans le premier cas oîi l'on a y.3- = 8- — i), mais on a une dilTérence partie aliquote du double produit (comme, quand sur 7. 2" = G'-— 8, on a trouvé le nombre 8 partie aliquote du double produit 2 x 2 x G, d'où l'on déduit le quotient 3 comme racine d'un carré cherché). Kn effet, il est simplement requis que la dilfé-
tT-
VO'* G::UVRES DE FEllMAT. — TRADUCTIONS.
ronce \nr- — ,v'- 1 divise le double produit 2/-^, sans qu'il y ait nécessité (jue ///•- ou s- soit le plus grand des deux termes; c'est donc la même chose, pour la question, que nr'- soit supérieur ou inférieur d'une unité à un carré.
Par exemple, soit proposé le nombre i3,
na-^ (rrt)-H- ba''i3.i= 32+ 4 6- 4- 16= f+ 3
'4 etc. 10--+- 17
On trouvera, ii la cinquième ligne, quatrième colonne (ou troisième
il jtarlir de la première),
Or I, difTcrencc des nombres i'î.5- et 18^ divise le double produit 2 X :^ X 18 = 180, et donne pour quotient 180. (]e sera donc la racine d'un des carrés cherchés.
Kn eiïet,
Si entin, jusqu'il présent, nous avons pris pour c'- le carré soit immédiatement supérieur, soit immédiatement inférieur au nombre donné, cela est tout à fait arbitraire et sans nécessité; car tout autre carré supérieur ou inférieur eût donné les mêmes résultats; ce qu'il faut également entendre de ce qui suit.
Il semble que de la sorte nous ayons suirisamment traité la première [tartie du problème, ii savoir la recherche d'un au moins des carrés demandés. Car, s'il en existe un, il est impossible qu'on ne le trouve pas ainsi, par l'un ou l'autre mode, ou au moins par le premier.
Mais, comme il peut parfois être long d'y arriver, à moins d'em-
COMMERCIUM DE WALLIS. 4Go
ployer un abrégé, il conviont, pour faciliter le calcul, d'enseigner, entre beaucoup, quelques abrégés de ce genre.
I/un, (|ui est excellent, a déjà été indiqué; il se présente lors(|ue la diiïéreuce | «r- — s'- 1 divise le double produit irs. (kda arrive toujours (|uand cette difi'érencc est soit i, soit 2, c'est-à-dire si nr'- est supérieur ou inférieur, de 1 ou de 2, par rapport à un carré quelconque 5-, car 1 divise tout nombre et 2, tout nombre pair, donc irs. Mais cela se présente souvent aussi pour d'autres différences.
En voici un autre : à moins de rencontrer ha- = i dans la [)reniiéro colonne, ce qui résout immédiatement la question, pour trouver i comme nombre à retrancber, il faut passer aux colonnes suivantes et en prendre une ou plusieurs, comme j'ai dit. Mais quel (\uii soit le rang de la colonne où l'on trouvera i, de ce rang connu on déduira aussitôt la racine du carré clierché. En effet, si, dans la première colonne, la racine du carré essayé est ca, elle sera, dans la seconde, ca — t, dans la troisième, ca — 2, etc. Cela est évident dans le premier mode du procédé, où l'on prend le carré c- immédiatement supérieur à n; quant au second mode, j'en parlerai plus loin.
Ainsi, il est clair que la racine du carré, dans une colonne quelconque, est inférieure à la racine du carré correspondant dans la première colonne, d'autant d'unités qu'il y a de rangs d'une colonne à l'autre; appelons d cette distance ou différence. La racine du carré dans une colonne quelconque sera ca — d et son carré
c- a- — -2 cela -+- (i-
étant, par rapport au carré c-a-, supérieur du nombre ■2cda — d-, il faudra diminuer d'autant le nombre à retrancber ha- pour retrouver en tous cas la même différence na-. Ainsi ce nombre à retrancber sera ha'-— -icda-^-d-. Mais je voudrais que ce nombre ainsi déterminé soit I. Il faut donc poser
ba"- — 2 cda + c/^ = i ,
et, hansposanl,
d- — I = îcda — ha-,
lU. — l'KIlMAT. ^9
VGC ŒUVRES !)E FERMAT. - T1{AI)UCT10NS.
d'où
d- — I r>. cd
et résolvant ré(|ii;i{ion
cd IT'Tl- — l«r- -+- h cd ±. \^^'iF— lid'- + h cd ±: JJTd^ h
à cause cl(> c'- — /i + h, d'où c' — b z= n et c"-d- — hd- = nd'- .
Ainsi, connaissanl d, on connailra a.
(Ida posé, ponr connaître d, il Caiit cliercliei-, de la même manière (jue l'on a montré pour «, nn carré dont le produit par le nombre donné, étant aM;;mçnté dn nombre h (jni a été ])ris, fasse un carré, en sorte que \lnd'--\- b soit un nombre rationel entier. Cela peut paraître à première vue aussi dilficile que la première rechercbe proposée; mais, en l'ail, il y aura un grand abrégé, parce que d (nombre des colonnes suivant la preu)ière) sera toujours moindre que a (nombre des unités dans la racine du carré clierclié), comme cela est évident. On parviendra donc ])lus lot au nombre à retranclier b qu'au nombre il retranclier i.
Par exemple : soit proposé le nombre i3 et, par suite, soit
On ne trouvera pas i avant la ligne i8o, où
et par conséquent a -~- i8a. ;\Iais on retrouvera le nombre à reirancber b = ':j, au moins dès la ligne 7 1 , car
I 3.7 I -r= ■îjG' — 3,
et par conséquent <•/= 71, d'où l'on conclura a = 180, comme précédemment. Le calcul est donc abrégé de plus de moitié.
Si cependant il arrivait, ce (|ui peut se fair(' parfois, que le nombre d, ainsi trouvé en premier lieu, donnât un nombre a, non pas entier, mais fractionnaire, et par snite impropre à la question
COMMEIiClUM l)i: WALLIS. W"
|)ro[)0;u''o, on en clierclicrail un second, on incnie tin (roisiome, enfin (|iio!(in';iutre d donnant « enlier. (]e (ju'il Huit aussi entendre pour ce (|iii suit.
Que si cette réduction des o|)crations ne parait pas encore assez satisfaisante, et (ju'on ne parvienne ([u'avec trop de lenteur au nonihre d lui-iiièine, dans ce cas sa recliei'clie peut aussi être abrégée par le même artifice. Précédemment, [)our trouver it, nous avons elierclui le rang lie la colonne renfermant le nombre îi retrancher prescrit i ; maintenant il faut chercher le rang de la colonne renfermant le nombre :i retrancher l>. Or, comme, à cause de c- — // + />, on a
lid-^z c'-tl- — l/d',
et que b; nombre ii retrancher hd- est trop grand (ii moins (jue l'on n'ait /* = i) puisque celui (|u'ou cherche est h, il faut diminuer le carré c'-d- (comme nous avons tout à l'heure diminué le carré c-n'-), de façon (|iie le nombi'e à retrancher, étant diminué d'autant, devienne éi^al à /j.
Ainsi, de même qu'à la racine» ca du carré nous avons substitué en — d, à cd nous substituerons maintenant cd — r, e étant le raui,' de la colonne où l'on trouvera h\ nombre à retrancher Ij. La dill'érerice des carrés de ces racines sera -iccd — c-, et en la retranchant du nombre bd-, il restei'â
(I ou
Id'-
■i ced -1- c-
^ 2 ced —
bd'
2 ce ,
et, rés;jlvant l'éiiuation.
ce ± \lc- e- — bc- -+- b- ce ± \ iie'^ -h
Par exemple : soit proposé le nombre 1 3, on trouvera à la ligne 2S,
i3. 28-^ 101- — 9, et, comme 9 = />-, on aura c = i>8, d'où r/ = 71 et a = 180. Ainsi le
h 08 ΠLl V n E S DE F R H !\F A T . - T R A 0 U C T 1 0 N S .
Ii'avail, (l('jà l'éduiL auparavant de la liL,'iic t8o à la ligne 71. se fi'ouv(>
iiiainicnani rrduit à la ligne 28.
.Mais la inéine méthode peut encore le réduire davantage. En ell'et, on montrera de la même manière, s'il est besoin, comment cette réduction doit se faire, et de même que l'on a trouvé
cd ± \J nd- -h l> ce ± \/ /ic- -h b-
— Cl,
on trouver;
cf±\,'nP-hiï'
■ ■rr -h l//(o'-J- /,'*
et ainsi de suite.
Ainsi on est ramené à ceci : en commençant à procéder comme précédemment, on observera si l'on rencontre comme nombre à retrancher, soit I, soit 2, soit quelque autre diviseur du double produit 'irs ci-dessus mentionné (car dès qu'un tel cas se présente, la question est aussitôt résolue, comme il a été dit); soit encore h ou une de ses puissances quelconques, Ir, />', etc. Si l'on rencontre ainsi l>, on anra d; si l'on rencontre b"^, on aura e; si h^,/ el ainsi de suite.
Un de ces nombres étant connu, on anra évidemment les autres en l'étrogradant, à moins qne l'on ne trouve ainsi des nombres fractionnaires; dans ce cas, il faudra, comme je l'ai indiqué, poursnivic encore la recherche commencée.
Par exemple, soit proposé, comme auparavant, « = il,
