AD = |(AB4-AC + AE

La position du point D varie suivant les cas. Je dis que la somme des droites terminées par le point D et par les points donnes du côté du point A sera égale à la somme des droites terminées par le point D et par les points donnés du côté du point E. C'est-à-dire que l'on aura

Dans la i" figure : ED = AD + BD -t- CD. Dans la 2' figure : ED + CD =r BD + AD. Dans la 3" figure : ED + CD + BD = AD.

D'abord dans la 3" ligure, par hypothèse, 4 AD = AB -i- AC -+- AE ; retranchez de part et d'autre 3 AD, il restera d'un côté AD; de l'autre, retrancher 3 AD de AB + AC + AE est la même chose que de retrancher AD de chacune des droites AB, AC, AE : il restera donc

BD H- CD + ED = AD. c. q. f. u.

Si l'on avait donné cinq points, on aurait d'un coté 5AD, de l'autre 4 droites terminées à A et aux points donnés, etc. ; la méthode est toujours la même et s'applique indéfiniment.

Dans la 2'' figure, 4AD = AB + AC -t- AE; retranchez de part et d'autre 3AD et ajoutez BD, vous aurez AD + BD = ED + CD.

Dans la i"'*' ligure, 4AD = AB + AC + AE; ajoutez de part et d'autre BD + CD et retranchez 3 AD; vous aurez AD -f- BD + CD = DE.

La méthode est la même pour un nombre quelconque de points jusqu'à l'infini, et la même conclusion sera tirée de quelque manière (|ue l'on fasse varier les cas.

Second lemmk. — Soit faite sur la i" figure (y?^. 38) la construction précédente; je prends sur la même droite un point N quelconque. Je dis que la somme des carrés des droites terminées par les points donnes et par N dépasse la somme des carrés des droites terminées par les points donnés et par le point D, du carré DN pris autant de fois qu'il y a de

38 ŒUVRES DE FERMAT. f'ii|

[XHiUs donnés, soit 4 ilans l'oxemple choisi. Les 2^ et 3* ligures rcpr»'scnloiit des cas (lifférents.

Fig. 3S.

— 1 — i — I 2" liKurc.