bl
et que ce nombre donne, en elTet, aussi bien /'= 11 que /= 21», mais on voit qu'il se trouve plus lard (|ue le /cherché.
11 n'est peut-être pas sans intérêt de noter ([ne, de même que si l'on (ïoniiait (/. par cxem|)le, on peut en déduire a, de même réciproquement, si l'on connaît a, on peut en déduire d; de même pour les autres, lin eiïet, comme on l'a montré,
0(1- — r>, C(ln -t- f/- rn I ;
d'où, ord(Uinanl et résolvant l'é(|ualion,
cd ± \Jiid- -t- b
!iio a:uvuES de fermât. - tuaductions.
comme on l'a déjà vu, cl
d =ica ± \l nn--\- i .
!)c même, puisque
bd- — 2 ccd + e- = b,
on aura à la fois
, ce±Jii(:--b-lj' , ,, / — 7;- -7
c/= ^ cl. cz=cd±\Jiid-+ ù;
cl ainsi de sui(e.
Mais il s'ensuit aussi que
ba-=c cl semljlal)lemeiu bd ^ f, lie ^= ,ç, etc. Imi eiïcl, puisque
cd ± \/iid--h b a = ,
(in aura
ba -^ cd ± \Jiîd'^ + b Tnc,
cl de même pour les autres.
Il V a touferois à faire ciîtle dislinclion que le sii^'uc, qui est double dans les deux cas, doit être pris de deux façons dillercntes, le supérieur convenant mieux à la question |)our l'une des quantités, l'inférieur pour l'autre. Par exemple, si l'on prend
ba =:: cd — \/ nd' + b ,
(I sera un nombre fractionnaire, à moins que h ne divise le nombre r/— \^/nd'-hO, ou bien, s'il est entier, il se trouverait encore plus lard que d ou c, dans la reclierclie dont il s'agirait. Au contraire, si, pour c, on prenait la plus grande quantité
e ^z cd + \/iid' -+- b ,
quoi(jue dans ce cas le nombre soil bien entier, comme il est plus i^rand que a, il n'arriverait que plus tard, dans la recherche faite pour le trouver le premier.
Ce qu'on vient de dire pour « et e s'applique également ;i c/ et/, ;i .'et g; de.
Ainsi, si [»ar exemple, après avoir trouvé e, on remonte par les égalités ci-dessus à r/et à a, il faut prendre les quantités les plus grandes;
COMMEItCIUM ])E WALLIS. 471
si, an contraire, on veut avoir les suivantes/, i,s elc., on prend les moindres, comme mieux appropriées à la question.
Les procédés abrégés, que nous venons d'indiquer pour chercher na- inférieur d'une unité à un carré (et en prenant dès lors c'-'^ n), s'appliquent de même, mulatis jnulandis, si l'on veut chercher /?fl- ou iir- supérieur d'une unité à un carré (en prenant pour c- le carré immédiatement iulericur) ou encore ncr ou nr, avant avec un carré une différence de 2, en plus ou en moins. Quoiqu'on effet, dans ce cas, linc soit pas le carré cherché en premier lieu, il le donnera toutefois, comme j'ai dit plus haut. Les relations se présentent ainsi :
iKi- iiifi} rieur ,l' une uiiitii na- siipcriciir d'une unité
à un currc. à un ciiiré.
cd
±\Jnd^
ce
± s/nc'
Ci;
± \Jn,:;-
±\inli-
\lud'
-cd
— ce
— Ir'
-ch
na- inférieur de deux u/iilé.s. nn- supérieur de deu.v unités
cf
âV.-'
ch
\,'nh'
\lnd-
-cd
^ne'-
— ■>. Il'
■+ ib'
\înh'
— ■>. Ir'
-ch
hl-l ŒUVRES DE l'EKMAT. - TRADUCTIONS.
On procédorait, de iviênic, pour chercher rm- diiïérant d'un carré d'un n(unl)re qucdcouque, en plus ou on moins. J'entends en tant que hi chose est possihh*,car il n'est pas universellement vrai que pour un nombre quelconque, même non carré, son produit par un carré entier puisse avoir, soit en plus, soit en moins, une différence donnée quelconque avec un carré. Mais comme, dans la question posée, il est certain que I et 2 divisent toujours 1rs, que cela n'est pas de même assuré ou universellement constant pour les autres nombres, il sulllra de porter son attention sur ce qui suit : à savoir si, en insliluantle calcul indiqué, on trouve /ta- ayant avec quelque carré [lour difTérence le nombre 1 ou 2, ou quelque autre partie aliquote du double produit des i-acines; ou bien inférieur à un carré du nombre h (différence entre le nombre donné et un carré plus grand), ou d'une (|uelc(>n(|ue de ses puissances, ou du double d'une quelconque de ses puissances; ou encore supérieur à un carré du nombre b (différence entre le nombre donné et un carré plus petit), ou de son double ou d'une puissance quelconque impaire de^ou du double d'une telle puissance; ou enfin, dans le même cas, inférieur d'une puissance paire de ^ou de son double.
Si, en effet, quelqu'une de ces circonstances se présente, on aura, soit le nombre a, racine du carré cherché ou qui le fournira immédiatement, soit quel((u'un des nombres cl, c, /, qui, par rétrogradation, conduiront à a, ;i moins que le nombre a ainsi trouvé ne soit fractionnaire, au(juel cas il faudra pousser plus loin la recherche, comme il a été dit.
Par exemple, soit proposé le nombre n = 1/19, et soit pris
c = i2 cl jiar coiiséiiiienl b = i.\r) — i44 = ^;
on trouvei'a, à la ligne 17 de la colonne Iroisii'me ou 2 après la première (car il n'est pas nécessaire d'aller plus loin),
et dès lors, comme G2") — Z**, on aura ;>■=: i-^, d'oîi, en rétrogradant,
on trouvera
/=82, c =: 397, d^=iQ22, enfin a ou r = gSoS.
Le produit de ce dernier nombre par n dépasse un carré d'une unité; car
149X9805 =12900870725 = 113582 H-l^ri'i+l.
Le double produit
irs ^ 2X 9805 X 1 1 3582, divisé par
Il r'^ — i' =: I ,
donnera
racine du carré cherché dont le produit par n ou 149 sera inférieur d'une unité au carré du nombre
258oi74i449'
On aurait obtenu le même résultat si, passant la ligne 17, on était allé jusqu'à la ligne 82 ou 897, etc., où l'on aurait eu/= 82 ou e = 397, etc.
Ainsi, dès la ligne 17, nous avons le nombre qui, par la méthode
exposée, conduit au nombre cherché, lequel est passablement élevé,
puisque le plus petit des carrés satisfaisant à la question doit être écrit
avec 19 tigures. C'est
carré de
comme je l'ai dit; et ce carré, multiplié par 149, est inférieur d'une
unité à
carré du nombre
En voilà sans doute bien assez sur les procédés d'abréviation de la recherche; je n'ignore pas qu'on peut ajouter encore d'autres remarques, qui abrégeraient cette abréviation même; mais je crains d'être trop prolixe.
Kkiiuat. — ui. 60
'4.1k ŒUVIÎES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.
.l'avais pensé iiotammont à indiquer une autre méthode abrégée. Il s'agit de montrer comment nous pourrions poursuivre par sauts l'investigation dont j'ai parlé, ce qui peut être utile, quand elle traîne en longueur, comme cela arrive parfois; de la sorte il ne serait pas méine besoin, en certains cas, d'examiner une ligne sur loo. Mais cela ne me parait pas nécessaire, et je ne dois pas en mettre trop; ou bien, si vous désirez que je traite aussi ce point, ce sera pour une autre fois.
Désormais, ayant longuement exposé la méthode de recherche d'un carré quelconque propre à notre objet, (;'cst-à-dire tel (|ue son produit par un nombre donné, étant augmenté d'une unité, fasse u\\ carré, il reste à montrer comment nous en fournirons ensuite uiir intinilé de même (>spècc, pour ne pas dire tous les possibles. L;idessus je serai aussi rapide que possible, car je n'ai pas à être prolixe, en vous exposant ce qui est de vous.
Comme je l'ai déjà dit plus haut, toutes les fois que la différence I /«/•- — 5- 1 est une partie aliquole du double produit 1rs, le quotient de ce dernier par cette différence sera la racine d'un carré satisfaisant à la question.
Soit donc déjà connu (par la recherche ci-dessus développée) un carré quelconque satisfaisant à la question et que nous désignerons par r^. Puisque dès lors, par hypothèse, nr- -h i est un carré, soit .vce dernier. On a donc
n r- -\- i :z^ s- , d'où \/if- — .s- | ^ 1 .
Comme i divise tout nombre entier, il est clair que cette dill'crence, |/ir- — .y-| = 1 , divise le double produit 2.rs; clic quotient résultant de cette division sera la racine d'un second carré satisfaisant à la question. Grâce à ce second, on en déduira de la même façon un troisième; de celui-ci un autre, et ainsi de suite à l'intini.
Toutefois, si cette solution satisfait largement à la question, de fournir une infinité de carrés de l'espèce, elle ne donne pas absolument tous les possibles.
COMMERCIUM DE WALLIS. i75
Par ox(Mii|)k', soit donné le nombre 3, la racine dn premier carré sera i ; on en déduira pour celle du second 4. puis successivement
56, io864, 408855776, ...,
et cependant on passe sur de nombreux carrés intermédiaires, à savoir
ceux des racines i5, 209, 7<So, 291 1, 4o545, i5i3iG, 5647 19, 2107 ')()(),
(^es racines intermédiaires seront fournies par la règle suivante : Soient n le nombre donné, r la racine du premier ou plus pelil
carré satisfaisant îi la question, supposée trouvée par la métliode
exposée ci-dessus, et / = 2 \jnr- -\- i ,
la racine (lu premier sern .. . /■ ou /xi,
celio du second » ... r x. (,
» ilu U'oisiomc » ... /■ x (i- — i)-
» du quatrième » ... /• x (<^ — H)»
» du cin(|uièiiu' » ... /• x {^' — 3i'-'-i),
et ainsi de suite, selon la série ci-con(re :
