IX

ix 33 '^x33"J' 1 34 ii55

I 197 7Xi97 7-ggX...,

^x 33 ^Jx33"!!

c'est-à-d

ire

pyr le carré

de 2. 12.70.408.2378.

23lO. . . .,

1 io5

11 est facile de voir que la division en question peut s'etl'eclucr tantôt sur tous les termes, tantôt en les prenant de deux en deux,

'i7S ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

on (le trois en (rois, ou do quatre en quatre, cinq on cin([, etc. De Miêmo pour les autres nombres.

Il ne sera pas mauvais d'avertir do ce que j'ai déjà indique plus liant, (|noiquo la cliose soit étrangère au sujet ii traiter présentenienl.

Si, dans la ((uostion proposée, au liou de dire, étant augmenté de l'iiiiité. on avait dit : étant augmenté d'un nombre carré quelconque. soil /-, les séries des carrés que nous venons de trouver seraient à iiinltiplier par ce carré k-, ou, ce qui revient au même, les racines dos larrés seraient ii multiplier par k.

Par exemple : étant donné le nombre n = 2, on demande que nasoit inférieur d'une unité à un carré. On aura alors

na-^= 2 par le carré do a. 12.70. . . .

Mais si l'on demandait que na'- soit inférieur du nombre 9 à un carré, on aurait

11(1"-^='?. par 9 fois le carré (le 2.12.70....

dette série fournit une infinité de carrés satisfaisant toujours à la condition proposée, toutefois elle ne les donne pas toujours tous. Celte remarque doit sufTiro.

Voilà les principales choses qui m'ont semblé à dire sur ce sujet;

je les ai réunies dans ce résumé pour obéir à vos ordres. Il me reste

à vous prier d'excuser avec bonté ce qui pourra n'étro pas on fout

conforme à votre désir, et de ne pas vous lasser de continuer vos

faveurs accoutumées.

Très insigne Lord,

au très respectueux serviteur de votre Seigneurie,

Joii.N Wali.is.

O.xford, 7/17 décembre 1G37.

J'avais déjà écrit tout le reste, quand l'idée m'est venue d'ajouter encore, sous une forme tout à fait différente de celle ci-dessus, votre méthode de rechercher le premier carré. ( Voir Lettre XIX.)

r.OMMEHCIUM 1)K W.\I,L!S.

Soil, par exemple, proposé le iioaibro non carré //-=i», e[ soil <r li carré cherché, tel que i3rt--i- i soit carré. On aura

i3a--i- I --- Qrt- -1- Gai) -i- b-

i «' + 1 --.: Qah H- l>' :

1)11 l)ien

par conséquent

lb> a> b.

Soit a = b -j- c; et, par suite.

ou bien

ibc + \c- -T- 1 = 3i- ; ?, c > /> >• 6\

■2c---t- ■icd+ .'|C--4- I = 3c'+ 6c£/+ 3(/-, 3c'--^i — 4«/4-3(P;

2 rf > f > (/.

3 (/- -t- a de i- 3 e- 4- I ^ 4 f^' + -'i '^/c + 3 ^Z'' , ■'. de + 3 c' + I = 4 d'' ; ^.e ^ d> c.

36/= +. 2/i' + i'^ + . rrr 36/' + 6/^ + hf.

2/i> ir>//.

3h-^-i-6/H+Zi--+- 1 = 2A2+ 2/((-f- 4/i-, lilii-V- 3j'+ I = 11-,

Par conséquent,

(/ rr 38, C=r7l, 6=109, a=l8o.

On procédera de la même façon pour toul nombre donné non carré.