LETTRE XVIII

John Wallis a Kenelm Digby.

Très illustre Seigneur,

J'ai reçu avant-hier soir très tard et j'ai parcouru hier le Traité de M. Freniclc sur h^s problèmes de Fermât, Traité que votre Seigneurie a récemment adressé au très honorable Lord vicomte Brouncker, et que ce dernier a bien voulu me communiquer; je ne l'avais pas vu auparavant et je n'en avais même jamais entendu parler, avant d'avoir reçu à ce sujet la lettre du très honorable vicomte.

Il est certain, d'après ce Traité, que son clarissime auteur, ou bien n'a pas vu, ce que j'aime mieux croire, la lettre que je vous ai adressée à Paris, ou qu'il n'a pas loyalement agi : dirai-je avec nous ou avec notre nation?

Il commence tout d'abord par insulter notre nation, et non pas elle seulement, mais aussi les Belges et même les autres nationaux de France.

« Voici », dit-il, « que Lutèce vous fournit, très illustre Seigneur, » la solution de problèmes que ni vos Anglais, ni les Belges, n'ont » aucunement pu procurer ; la Gaule Celtique est fière d'enlever la >> palme à la Narbonnaisc, etc. »

Et bientôt après, il répète à plusieurs reprises, que « la plupart des

COMMEUCIUM DE WALLIS. kSi

» autres mathémalicions, tant d'Aiigloterre que do Batavie, s'atta- » client à les résoudre », ou mémo « y dépensent leurs sueurs », mais qu' << il a vainement attendu quelque chose des Anglais ou des Ba- » taves, quoique la plupart aient sué là-dessus », et autres phrases pareilles.

Pour les Français et les Bataves, ce qu'il convient d'en dire, j'ai d'autant moins à m'en soucier que j'ignore davantage ce qui s'est fait chez eux; mais, pour vos Anglais, je puis en parler.

Tout d'abord, quand les Anglais n'auraient rien l'ait sur la question, on n'aurait pas pour cela à triompher de notre nation ; car il n'y a pas un de ses mathématiciens sur cent qui ait, jo ne dis pas, sué à résoudre ces problèmes, mais les ait seulement abordés, ou même (jui on ail entendu parler. Je ne sache pas, en cflet, ii part Lord vicomte Brouncker et moi, qu'il y ait en Angleterre un mathématicien qui v ait dépensé une petite heure, ou même qui y ait pensé tant soit peu; au moins tous ceux que je connais, d'après mes informations actuelles, les ont absolument ignorés ou bien ne s'en sont pas occupés. Si leur très noble auteur a pu dire dans une lettre particulière qu'il les proposait à tous les mathématiciens de l'Europe, il ne faut pas croire que tous, je ne dis pas : se soient aussitôt mis ii la besogne, mais même en aient eu immédiatement connaissance.

Quant à nous doux, nous avouons qu'il peut bien se faire que votre clarissime correspondant ait résolu ces problèmes, au moins les deux premiers, avant l'un ou l'autre de nous. A cela, il n'y a rien d'étonnant puisqu'il les aurait résolus deux mois avant qu'il en fut rien parvenu ici. Il dit, en eilot, avoir trouvé la solution dès le 23 janvier (nouveau style), alors que ces problèmes, quoiqu'ils semblent m'ètre adressés personnollcmont, n'ont pas été vus de l'un de nous doux avant le '[ mars (vieux style), soit huit semaines entières, moins deux jours, plus tard. Ce fut lii, au reste, la date de leur arrivée de Paris à Londres, et ils ne i)arvinront ii Oxford qu'un [x-u plus tard.

Ce que nous avons fait sur ce sujet, il est inutile do le répéter longuement à nouveau, puisque je vous l'ai dojii ex[)osé Ix plusieurs kerjut. — m. 6i

reprises dans mes lettres précédentes. Toutefois, comme cela se trouve épars et mêlé h d'autres clioses (car le même M. Fermât nous a posé d'autres questions et nous avons répondu sur plusieurs points de plus d'importance), il parait utile de faire le résumé de ce que j'ai déjà écrit à ce sujet, et de le donner ii voir d'ensemble, pour qu'on puisse juger combien ii tort on croit triompher de nous ou de notre nation. D'ailleurs, comme on semble parfois accuser notre lenteur, j'ai cru bon de marquer les dates.

Les deux premiers problèmes étaient conçus en ces termes :

Proposez- (voir page 3 1 1 , n" 79, ii page 3 1 1, ligne 4 ) • • • • d'une amitié naissante.

Pour qu'on ne nous accuse pas de lenteur, je dirai que M. White, qui devait nous apporter ce papier de Paris, l'a remis ii Londres à Lord vicomte Brouncker, le 4 mars (vieux style); celui-ci l'envoya le lendemain il Oxford, où il arriva le G mars, le soir à une heure avancée. J'y lis aussitôt une réponse, en sorte qu'elle pût être emportée par le courrier partant le lendemain de grand malin pour Londres. Voici le résumé de cette réponse:

Les questions proposées sont ;i peu près du même genre que celles que l'on pose sur les nombres dits parfaits, déficients ou abondants, et ne peuvent guère dès lors, ou ne peuvent pas du tout être ramenées à une équation générale embrassant tous les cas. Mais le seul et même nombre i satisfait aux deux questions, puisqu'il est à la fois carré et cube, et que d'ailleurs il n'a pas de parties aliquotes. J'ajoutais en même temps un problème très semblable à ces questions, et pour lequel je n'ai encore rien reçu comme réponse.

Trouver deux (îWrp. 4o4t lignes iG à 19) semblable.

A ma solution, le très honorable vicomte ajouta ensuite la sienne, ii savoir : non seulement le nombre i, mais (au cas où les fractions seraient admises) le quotient du nombre i par la sixième puissance de tout nombre entier; et, de plus, pour la première question, le quo-

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tient du nombre 3^3 divisé de la même façon, par exemple, ^7-- En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties actuelles que celles qui sont dénommées comme le tout, le cube ci-dessus ~n'aura pas d'autres j)arties aliquotes que ^j ^> — ;> lesquelles, ajoutées au même nombre ^> font -^-r» nombre carré. Ainsi ni M. Fre-

nicle, ni M. Fermât ne peuvent dire qu'aucun Anglais n'ait satisfait aux questions, puisqu'au contraire les seuls qui les aient abordées, au moins que je sache, les ont résolues.

Comme cette solution était immédiate et qu'on ne demandait qu'un seul nombre de l'espèce, je n'ai pas jugé ii propos de poursuivre des recherches dans l'infinité des nombres. La question ne me paraissait pas d'assez grande importance pour l'exiger, et l'eussé-je voulu fairc^, je n'en aurais pas eu le loisir. Car le problème me surprenait.au milieu des occupations les plus pressantes et alors que je me disposais ii partir pour assister à l'enterrement d'un frère que je venais de perdre.

Je n'étais pas encore de retour (mon absence dura deux semaines, ' si je me souviens bien) que, dans un entretien à Londres avec le lord vicomte, j'appris de lui que, dans l'intervalle, il avait déjii reçu, du même M. Fermât, une autre question, dans laquelle l'auteur avait une plus grande confiance, tandis qu'il semblait abandonner les autres, déjii résolues, à ce qu'on sait maintenant, par M. Frcnicle; le lord avait répondu à cette question et donné, avec les précédentes, cette réponse à M. White; celui-ci les envoya immédiatement ii Paris, comme' on peut le rccounaitre, et l'on ne peut non plus sur ce point nous reprocher un re(ard.

Or celte troisième question, après le préambule (It est à peine quelqu'un qui propose des questions purement arithmétiques, il est à peine quelqu'un qui sac/te les résoudre, etc.), était conçue en ces termes :

Etant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité de carrés déterminés, tels qu'en ajoutant l'unité au produit de l'un d'euv

par le nombre donné, on ait un carré Mais je demande la règle générale s' appliquant à tout nombre non carré quelconque qui peut être donné, pic.

Cette règle générale qu'on demandait l'ut fournie par le très honoré vicomte, et appuyée de sa démonstration.

Soient « un nombre donné quelconque (carré ou non carré, entier ou fractionnaire); q un autre carré quelconque (entier ou fractionnaire); d la dilTérencc entre netq; à savoir soit n — q, soit q — n.

Uègle : n-—- -\- i est un nombre carré. En effet,

/j r/ liqn -\- il- q- -\- i i/n -^ n- / q -^ n

'\q !ifl'i + 'I

d- d- q"- — xqil + li' \q — Il

Que cette solution soit légitime, personne n'en doutera, à moins qu'il ne la comprenne pas; et la démonstration, qui n'était pas réclamée, est certainement tout aussi régulière. Cependant, pour qui serait embarrassé des notations analytiques, la voici en d'autres termes :

Si le quadruple d'un carré quelconque est divisé par le carré de sa . différence avec le nombre proposé, le quotient sera le carré cherché; car son produit par le nombre proposé, étant augmenté de l'unité," fera un carré.

J'ai envoyé moi-même à Paris une autre règle semblable, mais plus tard, car alors je n'avais pas eu pleine connaissance de la question.

Soient n un nombre donné quelconque; a un nombre quelconque arbitrairement choisi, par lequel on divise un carré q quelconque, ce qui donne le quotient m. Soit, d'autre part, o le quotient de m par [\p (c'est-à-dire par le quadruple d'un nombre quelconque); soit enfin d la différence entre oa et pn.

— TT' disais-je, est le carré cherché. En effet, a- '

(l- o'a- ->- l-man -\- p- n'^ f oa + pn

d- d' o'a- — ^nian -\- p'^ II- \oa — pn

Que Format prenne l'une ou l'autre de ces règles, il n'aura pas seulement une infinité de carrés, mais bien tous les carrés possibles

COMMERCIUM I)E WALLIS. VSo

onlicrs ou fractionnaires, dont le produit par le nombre donné (d'ailleurs carre ou non carré, car il n'y a pas do raison pour restreindre aux seuls non-carrés la question ainsi posée), étant augmenté de l'unité, fera un carré. Et cela même a déjii été démontré par nous, comme suit :

Soit/- un carré possible quelconque (satisfaisant ii la question); on aura donc, par hypothèse, «/■+ i égal ii un nombre carré, soit /-. Prenons maintenant

on aura, disais-je pour la première régie.

Va, en effet.

/- hI a / -I- I

Mais

par conséquent.

Dès lors

l'--x— np

et