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Mais, comme 2/- =

2/zp2 2/rp2 ir

■ —lï- -J--7r'

c'est-ii-dire

La même cliose peut être prouvée de même, s'il est besoin, pour

l'autre règle.

Ainsi nous avons donné la règle générale demandée pour obtenir, étant donné un nombre quelconque, une infinité de nombres carrés

V8G ŒUVRES I)K FI' KM AT. - TllADUCTIONS.

dont le produit par le nombre donné, étant augmenté d'une unité, fasse un carré. On ne peut donc nous accuser de ne pas avoir résolu le problème.

Je montrais encore, par surcroît, que la question se serait résolue avec la même facilité si, au lieu de l'unité, on eût proposé d'.njouter un nombre carré quelconque, par exemple, //-. Il eut suffi, au lieu de

^> de prendre ^i-. Mais c'était là un bors-d'reuvre, puisqu'on ne

demandait que ce qui est donné par la première règle; or celle-ci fut envoyée à Paris, aussitôt après la réception de la question, toujours dans le mois de mars, si je ne me trompe; on ne peut donc nous reprocher ni de ne pas avoir résolu le problème, ni d'y avoir mis quelque retard.

La vérité est que ce fut seulement au mois d'octobre que j'eus communication d'une Lettre écrite par Fermât à Votre Seigneurie, où il faisait entendre, d'une part, qu'il n'avait pas bien saisi ce qu'avait voulu dire le Lord Vicomte (car il n'avait pas bien compris les solutions, écrites en anglais, puisqu'elles étaient adressées à M. White, un Anglais, et il n'avait pu trouver quelqu'un assez au courant de ces questions pour lui faire une traduction fidèle); d'autre part, il voulait que les questions proposées fussent entendues des seuls nombres entiers; c'était là changer absolument l'état de la question, car jusqu'alors il n'avait pas été soufflé mot d'entiers; enfin il proposait nombre d'autres questions, tout à fait étrangères à la précédente, et auxquelles il demandait une réponse, qui lui a été donnée. Mais à cette époque j'étais occupé d'autres affaires, et sur le point de faire un voyage, en sorte qu'il ne m'était pas possible de me mettre à cette besogne avant mon retour, en novembre; ce fut donc dans ce mois (par la lettre que je vous adressai le 21 novembre) qu'il fut longuement répondu sur les uns et les autres points, tant en mon nom qu'en celui du très honoré Vicomte. Pourvu donc qu'on nous fasse grâce sur ce délai si court et en tous cas indispensable, il n'y a encore là aucun reproche à nous faire.

Si d'ailleurs votre illustre correspondant a mal compris notre langue, le problème n'en a pas été, pour cela, moins résolu, et on ne peut pas plus reprocher au très honoré Vicomte d'avoir écrit en anglais à un Anglais qu'il votre illustre correspondant d'avoir rédigé en français presque tout ce que nous avons vu de lui.

Qu'enfin il limite maintenant aux seuls carrés entiers ce qu'il avait proposé sur les carrés en général, cela ne peut nullement nous faire tort. Car nous ne pouvions deviner qu'il fallait entendre ainsi la question, surtout quand il disait qu'il y cherchait à imiter Diophante, chez lequel par nombres carrés il faut toujours entendre indistinctement les entiers et les fractionnaires.

Admettons pourtant qu'il s'agisse de nombres entiers. Nous disons que, même dans ce cas, les questions sont résolues. Car pour la première et la seconde nous avons donné le nombre i, entier qui satisfait il l'une et ii l'autre. Quant ii la troisième, nous avons donné la règle générale demandée, qui fournit tous les carrés satisfaisant ii la question, soit entiers, soit fractionnaires.

Fermât peut nous dire qu'il voulait seulement des entiers et qu'il les voulait en nombre infini; mais quoique auparavant je n'en eusse rien su ni rien pu soupçonner, il lui a été donné satisfaction même sur ce point, comme il ressort de ma lettre de novembre.

Nous avons, en effet, montré que la proposition ainsi entendue est moins générale que dans les termes où elle était proposée tout d'abord, et qu'il faut la limiter au moins aux nombres non carrés, ainsi que l'a fait Fermât. Car si, en effet, n est carré entier, comme

-7T' ^-yr sera aussi un carré entier, et sa différence avec un autre

carré entier ne pourra être la seule unité.

Nous avons montré de même que, dans le cas où l'on peut donner un certain carré remplissant la condition prescrite, on peut aussi eu trouver une infinité d'autres, et nous avons indiqué comment, d'un seul connu, les autres se déduisent en nombre infini. C'est là un point qui ne paraîtra pas ii négliger, même, je crois, à M. Frenicle,

'^88 (EUVUES J)E FERMAT.- TRADUCTIONS.

f|ui a passé tniit cola sous silence (quoique ce semble tMre la princi- |)ale partie du prohlènie); qui n'a donné aucune démonstration de théorème, ni aucune construction de problème se rapportant à ces carrés à fournir en nombre infini; or nous avons donné et démonstration et construction.

De même nous avons montré comment, dans l'intinité des nombres carrés que donnent nos règles ci-dessus, nous distinguons les entiers des fractionnaires.

En effet, toutes les fois que — est un nombre entier, c'est-à-dire

loules les fois que d- est une partie aliquote du nombre L\q, et dès lors en prenant les racines, d ou \q — n\ une partie aliquote du

nombre 2R, ou encore, si l'on pose y = — et R = -, puisqu'il peut

se faire que «7 et R soient des nombres fractionnaires, toutes les fois

est une partie aliquote du nombre ^> ou, en multipliant

de part et d'autre par r^, toutes les fois que la différence | nr- — s"- \ est une partie aliquote du double rectangle irs\ toutes les fois, disais-je, que cela arrive, le carré donné par la règle énoncée est un nombre

entier, dont la racine est ^ — '-^ — ^^

\nv~s-\

Or ceci a lieu de diverses façons et en particulier de la suivante : 1 nr- — 5- 1, différence entre le produit par le nombre donné d'un carré (juelconque et un autre carré quelconque, sera soit i, soit 2. Car i divise tout nombre entier et 2 tout nombre pair, tel que 2/-.?.

Et cette seule règle renferme l'ensemble de tout ce qu'a donné là-dessus M. Frenicle. Car le nombre de la quatrième colonne de sa Table est précisément le nombre r, puisque son carré, multiplié par le nombre //, diffère en plus ou en moins d'avec un autre carré (qui sera 5-), soit de 1 ou de 2, soit au moins d'une partie aliquote du nombre 1rs. Ainsi trouver le nombre de sa quatrième colonne, c'est justement trouver notre nombre /•; or il n'enseigne nulle part comment on peut le faire et il laisse ainsi toute la question non résolue; il ne donne que des exemples sur les nombres particuliers non carrés

jusqu'à i5o, mais ne donne nullement ce qu'exige le problème, c'està-dire la règle applicable à un nombre donné quelconque. Quant aux préceptes que renferment les dix pages suivantes, et qui enseignent à trouver, d'après le nombre de la quatrième colonne, celui (ju'on cberche dans la seconde colonne, nous les renfermons tous ensemble

dans celui-ci : que -, — —. est le nombre cbercbé, c'est-à-dire celui

dont le carré remplit la condition proposée.

Quant à l'abrégé qu'il indique comme particulier aux nombres pairement pairs, c'est-à-dire divisibles par 4 (cas où il n'a pas recours aux nombres de la quatrième colonne), nous avons montré en général que cet abrégé s'applique aux nombres divisibles non seulement par /j, mais encore par tout carré quelconque.

Tout cela, avec d'autres choses se rapportant au même sujet, a été déjà longuement exposé soit dans ma dernière Lettre de novembre à Votre Seigneurie, soit dans celle (XVII) que j'ai écrite peu après au Lord Vicomte Brouncker, avant d'avoir en tout cas, remarquez-le bien, vu le Traité de M. Frenicle; vous recevrez une copie de cette Lettre en même temps que la présente.

Je ne voudrais pas au reste que vous pensiez que, dans ce qui précède, j'aie voulu manquer en rien aux très illustres et très nobles Fermât et Frenicle, rabaisser leurs travaux ou leurs connaissances en la matière; je respecte, comme il convient, des personnages aussi éminents, mais j'ai voulu vous montrer que vous n'avez pas non plus à rougir des Anglais vos compatriotes. Je laisse à Votre Seigneurie à apprécier ce qui a été fait sur la question tant par le très honoré Vicomte, qui a joué le rôle principal dans l'affaire, que par moi qui suis intervenu comme suppléant et qui reste

De Votre Seigneurie le très respectueux

John Wai.ms.

Oxford, 16/26 décembre 1O57.

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