LETTRE XIX
.lllllN Wm.I.I'^ a VlCOMTK RrOUNCKHR.
Voici, tn''s illustre Scigiiour, ce que je pense sur la seconde méthode de l'induction ii instituer, méthode que je crois devoir développer un peu plus longuement que je ne l'ai déjà fait (voir l'Appendice à la Lettre XVII). Ce n'est pas que vous n'ayez suirisamment saisi mes brèves indications (un m(»t vous aurait suIR); mais puisque la chose doit être soumise à d'autres yeux, (jui peuvent être moins familiers avec ces questions, je crois utile, et il me semble que vous-même le réclamez, de donner une explication un pou plus développée.
Je reprends donc le même exemple qu'auparavant : étant donné un nombre non carré n = i3, dont le produit par un carré a^ doit être inférieur à un carré d'une unité, il s'agit de trouver ce carré a'.
Puisque, par hypothèse, i3a- + i est un carré entier (le problèinc étant désormais posé pour des nombres entiers), il est clair que ce carré doit être inférieur à (4a)-=i(3«\ supérieur à (3a)- = 9a^ Si en effet a est entier, on a évidemment
i6(7'-> iSrt^-i- i>9rt-.
Soit donc ce carré ou bien (3a + b)- ou bien (4a — /-')', en sorte que h soit la différence de la racine du carré cherché avec celle du carré immédiatement supérieur ou inférieur.
Il est indifférent de prendre l'une ou l'autre expression; choisissons la première.
Ainsi
i3a'- -h i = (ia + by- = ga'' + 6ab + b'-
ct, supprimant de part et d'autre les termes égaux,
f,a-+i — Gab-J,- b\ Cela posé, il est évident que la quantité h est inférieure ;i a, supérieure à a, c'est-à-dire que
COMMERCIUM DE WALLIS. Wl
Si, en eiïct, l'on avait b = a, on aurait 3a + ^ = 4«. noniI)ro déjà reconnu comme trop fbrt; donc h<^a. Si, au contraire, on avait b= - a et dès lors a = 2b, on aurait, à cause de l'équation 4«"4- i = Gab-hbposée ci-dessus,
ce (|ui ne peut avoir lien en aucun cas. Par conséquent ^ >• - et
Puisque l'on a donc 2/>> «>/>», on peut arbitrairement de la même
façon poser
soil n := 2 h — c, soil a^^O-i-c,
en sorte que c soit la difl'érence entre a et soit 2b, soit b. Le choix
entre ces deux positions étant libre, prenons a = b -h r et par suite.
en raison de l'équation
poséc ci-dessus,
et, supprimant les termes égaux,
aie + 4c"+ 1 = 3^'.
D'où l'on conclut, comme ci-dessus,
De même, posant b =:^ c -h d, on conclura
Posant c == d -h e,
ainsi qu'on peut le voir en opérant suivant l'exemple déjà donné. Posant enfin c? = e +/, on a
d'où, évidemment,
kO-2 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.
Si, en efTot, on avait e = 7/, on aurait
tandis que le premier membre de l'égalité est plus petit. Au contraire, dans le cas de c = 6/, on aurait
le premier nombre est au contraire plus grand. Dès lors e est supérieur à G/et inférieur à 7/. De même pour les autres relations.
11 ne faut pas d'ailleurs croire qu'il faille de nombreux essais pour reconnaître ces limites, comme 7/ et G/, entre lesquelles doit être compris le nombre e, il ne faut pas redouter que cette rechercbe ne devienne fastidieuse. Cette crainte s'évanouira si l'on remarque que l'une des limites est pour ainsi dire toujours obtenue en divisant le coellicicnt du produit par le coeffîcient du carré dont on cliercbe les limites. Ainsi, dans l'exemple en question,
en divisant 0 par 1, on a le quotient G; par conséquent G/ sera une limite ou au moins le nombre immédiatement voisin de celle-ci. Si l'on fait l'essai en remplaçant c par G/, d'où Ge/par 3G/-, on aura
6e/+ 4/'= 4o/S nombre plus grand que 36/=+ i = (e'-t- 1);
il est donc clair que ^c est plus grand que/, ou e>G/. Que de même r > 7/, cela est aussi évident; car, posant e = 7/,
6e/H-4/-=46/- plus pclil i|iie 49/'+ i = (e'-t- i)-
Ainsi on connaîtra les limites
et de même dans les autres cas.
Mais il est évident que les dilTérenccs h, c, cl, etc. sont des nombres entiers et qu'elles décroissent continuellement; on arrivera donc nécessairement à une certaine différence de cette suite (au plus tard si elle se
COMMERCIUM DE WALLIS. W:i
réduit à i) qui sera une partie aliquote de la précédente. C'est tout de même ainsi que, dans la réduction des fractions à leur plus simple expression, c'est-à-dire dans la recherche du plus grand commun diviseur, suivant la proposition VII, 2 des Éléments d'Euclide, en divisant successivement les diviseurs par les restes, on arrive au même résultat ; cette recherche est, en effet, tout à fait voisine de celle dont il s'agit ici. Di'S qu'on sera arrivé à ce point, au lieu de limites comme
on aura une égalité. Ainsi dans l'exemple proposé, lorsqu'on arrive à
4 /(«' + 3 r -!- I ^ 3 Ir,
si l'on prend h = ii, car h est évidemment, d'après cette équation, supérieur à /,
équation qui peut évidemment avoir lieu, si l'on pose t = i . La valeur du nombre i est ainsi déterminée. En revenant sur nos pas, on en déduira la valeur des différences h, g, f, e, d, c, b, et enfin de a = uSo, racine du carré qu'on se proposait de chercher.
Ceci doit suffire pour expliquer la forme du procédé.
Il est facile de conclure de là la vérité du théorème : Etant donné un nombre quelconque non carré, on peut déterminer un certain carré, dont le produit par ce nombre, étant augmenté de l'unité, fasse un carré, et l'on déduira de là une infinité de tels carrés, comme nous l'avons antérieurement démontré (XVI). Mais cela est vrai, non pas seulement si l'augmentation est d'une unité, ainsi que l'énonce Fermat, mais si elle est d'un nombre carré quelconque, comme nous l'avons d'ailleurs prouvé antérieurement. Car, de même que, par exemple, en proposant d'égaler à un carré i3a*-i-i, on arrive à I II'- -H I = i2i-, d'où i-= i; si l'on avait posé tout d'abord i3a--i- 9, on serait arrivé à iir+9 = i2r, d'où {'^ = 9, et l'on calculerait àpar rétrogradation, comme ci-dessus. De même, pour tout autre carré ajouté au lieu de i ou de 9.
\9k ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.
Mais si l'on ajoutait un nombre quelconque, j'entends non carre, le théorème ne serait plus universellement vrai, ainsi que nous l'avons déjà avancé et qu'il est facile de le prouver. Mais, dans le cas où la chose est possible, on résoudrait la question tout h l'ait de la même façon, en substituant, au lieu de i, ce nombre possible quelconque.
On doit également remarquer qu'on procéderait encore tout à fait de même, si, au lieu d'ajouter un nombre quelconque, on devait retrancher un nombre quelconque (possible, bien entendu). On substituerait seulement à + i, — i ou tout autre nombre possible. Cette remarque est essentielle pour ce qui va suivre.
Jusqu'ici nous avons sans doute sulfisamment mis en lumière ce qui a un rapport nécessaire à la question. Mais nous ajouterons d'autres développements qui peuvent rendre les calculs plus aisés.
En premier lieu, nous avons dit plus haut qu'il est indifférent de poser au début, soit
ou bien
Cela est vrai absolument; cependant il est avantageux de choisir la position pour laquelle h est le plus petit. Ainsi dans l'exemple proposé, où il est clair que i3a-+ i est plus près de iGa" que de 9^-, puisque la différence" est d'un côté 4a'+i. de l'autre 3a- — 1, il es( plus avantageux de poser
De même, pour ce que nous avons dit ensuite que, en posant
on trouve a plus grand que b, mais plus petit que 2 /y, et que l'on peut poser indifféremment
soit ar= 2b ~ c, soit a = b-\-c; quoique cela soit absolument vrai, il est cependant préférable de
choisir la position à laquelle correspond la moindre valeur de c. El puisqu'ici a est évidemment plus voisin de b que de 26, on posera avec plus d'avantage
a =1 b -h c qiio a=zil> — c.
11 faut entendre la même chose pour les autres différences d, e, f, elc.
La raison en est toujours la même; il s'agit de ramener à l'unité ces différences h, c, d, etc., toujours décroissantes. On y arrivera plus vite, en prenant toujours les plus petites différences et non les plus grandes. Ce qui peut s'appliquer aussi \\ la méthode connue de réduction des fractions à leur plus simple expression par la recherche du plus grand commun diviseur. Cette remarque se présente d'elle-même, si l'on fait la moindre attention, quoique je ne croie pas qu'on ait coutume de s'y conformer.
L'exemple ci-dessous montre sulfisamment qu'il résulte du procédé indiqué un abrégé notable. Le calcul est d'un tiers plus court, pour le même nombre i3, que si l'un prend toujours, comme auparavant, les différences les plus grandes. Dans ce cas, on doit le continuer jusqu'à i; ici il sullit d'aller jusqu'à/:
o 12c- — 1 2 c(/ -H 3 f/- + 1 = 8 c- — [\cd-\-Zc-
%ab-b^--^Za^--^ c = %d-e "^ """ '
o I, ^ ^ „ /, Donc c = ■>.
ib>a>ib Cl^d'-iQdc -t- e^-i- I ^ 64rf^-8f/e-3d'
3rf-+ I ^ 8rfe — e-
,(i/;!-H8ic--i-rr-.I2i'--i-I26c+3c'-. 3 O f/ > 2 g
3 i- + I = /) ^c 4- 3 (,•- d ■= -ie + f
ic>b>c 12e' -h 12e/ -H 3/' -H 1 = i6eî -)- 8e/ - e'-
bT-.'j^
Pour prouver maintenant que cette méthode peut servir non seulement pour chercher des nombres petits ou ordinaires, mais même des nombres suffisamment considérables, nous en montrerons l'essai sur le nombre proposé, non carré, 109, qui demande le plus grand carré
(le tous ceux que traite M. Frenicle, et pour lequel celui-ci avoue
n'avoir pu trouver la solution, que M. Fermât lui a communiquée. On
aura
logn'-H I = iooa''-i- loab -\- b^,
prt^H- I nr 20ab -h b^, 36 > rt > 2^, a = 2 6 H- c, 36^2+ 36ic4-9c'+i = 4o6'+2oic + ;;-, i6ic4-9C-= 5b^ — I, 4c>if'>3f, h zz^ [\C — d, 64 c=— i6c^+ 9C-= 80C-— tiOcd+ 5d'^— 1,
2[\Cd—5d''::z 7 c-— I,
^d>c>5d, c ^ id + e.
d'où l'on conclut
/,■ = ■il + m = 35 662 389,
f^ jg —h^ 16233472466,
d=z 5 e — /=; 563 85o9o3 iSg,
c= 3rf -1- e = 1807569584602,
6= 4c — rf=;6 666 427 435 249,
Nous voyons ainsi que le nombre a, racine du carré cherché, a au moins i4 iigures, que son carré en a au moins 27 (nombre passablement élevé) et qu'il a réclamé 22 positions. On ne peut guère nier que sa détermination ne soit passablement abrégée, ou égard à la nature de la question.
Mais il y a encore un autre abrégé qui peut souvent supprimer au
0 =5p -hrj =
COMMEUCIUM DK WALL[S. W"
iiioins lu moitié du travail, grâce à la règle aiitcTicuromcnt éiioncL'c, à savoir que si la dili'ércnco entre le procUiit du iKunbre proposé par uu certain carré et uu autre carré quelconque est une partie ali(|uole du double produit des racines de (;es carrés, le ([uotieut de celte division sera la racine du carré cherché. Or cela arriv(^ nécessairement toutes les t'ois que la dilFérencc^ est i ou 2; si doue on trouve un carré dont le produit par le non-carré donné soit, par ra[)|)ort ii un autre carré, en excès de l'unité ou de 1, ou eu défaut de 2, il est évident (|ue l'on pourra en déduire le carré cherché. Or cela arrive très souvent dans les opérations, surtout quand il s'agit de nombres uu peu lorts, pour lesquels surtout il y a besoin d'abrégés.
Par ex(Miiple, prenons, comme tout à l'heure, // — ij; puiscju'en posant
\on' -k- I r^ I G rt- — 8 ah -h h-, on arrive à l'équation
d'où l'on conclut
si l'on avait posé tout d'abord i3«- — i, ou serait arrivé à
3 //- — 1 = 4 l>c + 3 c-; d'où l'on aurait conclu
2f=:/>, C=:l, 0 — ■^., II-.-').
Le carré de ce dernier nombre donnant avec i3 un produit supérieur d'une unité au carré du nombre 18. il s'ensuit que 180 = 2x^X18 est le véritable nombre ti cherché, celui dont le produit du carré pa
i'^ sera inférieur d'une unité à un carré, à savoir GV.) .
De même, pour le nombre proposé 109, en opérant comme ci-des sus, c'est-à-dire eu [tosant
1 09 (';■-+ i ^z \ooa- -+- y.oal) + />'-,
on arrive :i
1G/.7 + 5/- - q/.^— 1, d'où Zl>l.>il;
iMHll.M. - lu. t>-5
ar
498 (EUVUES DE l-ERMAT. - TUA DICTIONS.
mais il est clair que si l'on eût posé en eonimencanl lOQfl-— i. on serait arrivé à
i6/./ + 5/-= g/.'-h I, d'où /,->./, l—i,
et, en rétrogradant, a = 85 1 52.5, nombre dont le carré, multiplié par 109, sera supérieur d'une unité ;i un carré. On en conclura, de la façon expliquée, que le nombre a cberché, dont le carré multiplié par 109 est inférieur d'une unité à un carré, a pour valeur i5 1/40424 455 100. Ainsi le calcul, qui a été poussé jusqu'à y, pouvait être arrêté à /. De même, pour le nombre non carré proposé /\'S5, si l'on pose
en poursuivant les opérations suivant la marcbc prescrite, on arrivera
à l'équation
