o/j + 9/j-, d'où h/>> o> lip

Par conséquent, si au début j'avais posé 433rt- — 1, j'aurais

80- — I r^ iSoj) ■+- ()fj-, d'où 5/j = '), /> = I , " = 5, etc.;

/, 1::- 4' —m: : (ioi, e = 4./ + o'=^ '.i 309 442,

i x:;i3X -I- / =; 7 975, </ :=: 3e — f ^^ G3Gi 385,

/i ^-- 24-1-/4^: ifiSJi, C'-^2d-he=^ i5o322i2,

i,' = 3 /( — < = 4 1 (J78, l) z=z ^ c -h d :rz 66 4<jo 233,

y =1- 1 4 à' — /' := 5GG (j4 1 , (7 =^ .5 6 -)- f = 347 Li>i3 3-7;

d'où a = 3474*^-^377, nombre dont le carré 120744(^97 291 324 129, multiplié par 433, donne 52282453927143347857 qui surpasse d'une unité le carré du nombre 7230GG0G84. Par conséquent,

double produit des racines 3474'^3377 et 7230G60G84, est le nombre a primitivement chercbé, dont le carré

25 25 1 3 1(3 292 322 ogS 858983939617 172 869 69G,

multiplié par 433, donne

ioy33 819954575467 506940 045 854 235 802 578868,

/J zzz

0 \r: jp 1=

nir^ 211 -i- 0 :^

/ := 3 ni -T- It ■—-

r.OMMEHCIUM 1)K WALLIS. W9

qui est inférieur d'une unité au carré de lo'î 5()4 907 85'| 28GGf).'j 713. Ainsi le carré cherché, d'au moins 38 figures, se découvre après i5 positions, en continuant h's opérations jusqu'il p seuhMncnt.

Je m'arrêterais ici. sans une ou deux remarques qu'il me reste ii ajouliM" comme bon poids; non (|u'elles soient en rien nécessaires au sujet, mais parce qu'elles n'en seront peut-être pas moins intéressantes.

\\n premier lieu, quoique l'abrégé qui vient d'être exposé tout ii l'heure pour trouver a au moyen d'un a ou a accessoire (dont le carré, multiplié par n, soit supérieur d'une unité à un carré), d'où l'on passe il V(i vrai (^dont le carré, multiplié par«, soit inférieur d'une unité ;i un carré); quoique cet abrégé soit absfdument valable et pratique, si, néanmoins, il plaisait de le négliger et de poursuivre le travail commencé jusqu'à ce (|ue l'on arrive à Va véritable, il sera facile d'y parvenir sans calculs pénibles parce que les mêmes équations reviennent dans le même ordre. Par exemple, pour le nombre pris ci-dessus loç), après avoir trouvé les équations qui concernent a, h, c, d, etc. jus(|u';i m (qui a pour valeur 85i ,^2.5, c'est-ii-dire celle de l'a ou a succédané), on retrouvera les mêmes équations pour m, n, o, />, etc. qu'auparavant pour a, h, c, d, etc., en exceptant toutefois les deux dernières pour X et y, auxquelles on s'arrêtera, mais qui, si l'on ne veut pas s'arrêter là, n'en seront pas moins reconnues conformes à celles pour k et /. Ainsi le calcul institué pour trouver les équations pourra être arrêté dès (|ue l'on sera arrivé ii / ou m (c'est-à-dire au point où l'on dèlcruMuerait l'a ou a accessoire). Celui (|ui voudra employer ce moyen pourra donc, sans grande perte de temps, négliger l'abrégé (|ni a été indiqué en dernier lieu.

L'autre remarque que je voudrais faire est celle-ci. Nmis avons jus- (|u'à présent exposé le mode de recherche "de la racine du premier carré, grâce à laquelle on peut très facilement, suivant la série antérieurement exposée, trouver successivement les racines de tous les carrés en nombre infini. Mais, si l'on ne voulait pas employer cette série, on pourrait obtenir les racines de ces autres carrés par le iiiénie

procédé qui sert à détcriiiincr la première (toutefois avec un travail un peu plus long). Il sulFirait de continuer les opérations commencées jusqu'à ce que l'on arrive à la racine du second, troisième, quatrième carré.

Ainsi, j)ar exemple, prenons, comme ci-dessus, n = i3. Etant arrivés à l'équation

l\ef + 3/-=:^ 3e'-— i,

nous en avons conclu ci-dessus que l'on pouvait poser (■= -if, en supposant d'ailleurs/= i, et de lii en rétrogradant, nous en avons déduit les autres valeurs jusqu'à celle de a, racine du premier carré. Mais si, au contraire, on pose/>-i, on aura e<2/el, par suite, posant c = r>.f — g, il faudra poursuivre jusqu'à ce que l'on retombe de nouveau sur une équation semblable, ce qui aura lieu quand on arrivera à /, m, et, en ellet, on trouvera

Posant alors m --~ \ , on aura l = ■ini = -2, d'oii, en rétrogradant, a = :î33G4n, racine du second carré. Mais si, au contraire, on pose encore, non pas m — i , mais m>-i, on aura l<:^7.m. Posant donc /= -1111 — n, il faudra poursuivre jusqu'il ce (|ue l'on retombe encore sur une é(|uation semblable, savoir

d'où posant v = i , on aura 7 = 2 et « = 3o32G |5/[0. Si l'on posait autrement s'^ i, procédant toujours de même, on aurait la racine du quatrième carré, puis celle du cinquième, etc., ad libitum,

/ :^ im — n = a STiS, c ^ if — :; =l 0820282

le ::---il -\-m— 0/185 (3. d--ic^f— 8417025

0 —ip — fj— 71,

(" r. 8Â" — / =: 49332, f ^- .Srf-v <? = 64 019 91 8,

Il = 21 — U = 921 59, i 1= 2 C — (l - I I 9 G22 3 1 I ,

g ~- 1 1l -^ i ^rz 233 G'|0 1$. « r^ 2 ^ -t- f r= 3o3 264 5/|0 c

COMMEUCIUM DE >YALLIS. 30 1

Au ros(o, pour <•(> calcul, comme auparavant, dès que l'on aura (»b(onu le premier (t, les opérations seront facilitées par le retour constant des équations semblables, comme on le voit dans l'exemple ci-dessus, où l'on a tant les a vrais (que j'appellerai A, B, C, etc.) que les a succédanés (que je désigne par les lettres a, p, y. etc.), c'està-dire tous ceux dont les carrés, mulli|)liés par le non-carré donné, sont soit inférieurs, soit supérieurs d'une unité par rapport à un carré. Si, en effet, là où par exemple se trouve i- == i, on jxise /= r, on aura a, la première racine, là où est ti\ si, au contraire, au lieu de .v = i, on pose w — I, on aura, là où cst^, « — B racine du second carré, de même que l'on a maintenant a = C racine du troisième carré. Au contraire, en répétant toujours les mêmes opérations, on obtiendra D, E, F, etc., tant que l'on voudra. Ce qui, mulalis mutandis. doit aussi être entendu de a, p, y, o, etc.

On peut cependant remarquer que de même que de a, lorsqu'il est connu, on peut, par la ri'glc donnée ci-dessus, déterminer A (puisque de i3 X T" — i8'-= I, on conclut 2 x 5 x iS = iHo = A), l'on pourra par A connaître B; par [î, C; par V>, D; ])ar y. K; pJtr C, F, etc. Le plus souvent, il en est absolument de même; il n'y a que parfois une légère différence. Ainsi par exemple si l'on prend le non-carré 21, et

par conséquent

y I a- -t- I =^ '.5 fl- — \oab + //'

on bien = iGa--t- Sab-^tj-,

nous aurons dans un cas les nombres 1.2. j. 12 on bien 1.2. 3. 5. 12, dans l'autre i .2.7. 1 2 ou i. 2.,") .7 .12 ou bien encore 1.^.3.0.7.12, suivant que nous prendrons de différentes façons les différences soit addilives, soit soustractivcs, soit des deux sortes. Mais en tout cas on aura « = 12 pour la première racine; et les autres s'obtiendront successivement en poursuivant comme ci-dessus. On remar(|uera cependant que non seulement les carrés des nombres A, B, C, etc., multipliés par le donné 21, sont inférieurs d'une unité par rapport à un carré, mais que les j)roduits par 21 des nombres a, jî, y, etc. sont supérieurs à un carré, non pas cette fois d'une unité, mais du

moins d'une partie aliquntc du double produit dos racines des deux carrés, partie qui peut servir, comme on l'a vu. à trouver la racine d'un carré cherché. Par exemple,

5 — 12 — A racine chercliee,

et de même pour les autres. Ainsi a fera connaitre A; A, B; p, C; ]{. l); y, E, etc. Et il en sera ordinairement de même pour les autres nomI>res. Toutefois il peut arriver que l'on ait seulement A, H, (1. etc. Mais il n'y a pas à s'arrêter plus longuement à ce sujet.

i -^ lo/i — 4' -— 1 26^)9, /.■ — li — ll^r. 23978-^.

(- — loa — h - 1 15,

/— 2t' — fll- 218

i7 rr 2 /> + r =1 n A .

/(= 9.g+f—lZ20

Voilà, très illustre Lord, ce qui m'a paru devoir être dit pour expli- (|uer cette solution du problème de Fermât.

Ainsi le très noble Fermât (pour en finir) a son problème résolu ])ar une méthode si multiple à la fois et si heureuse que je ne crois pas (ju'il ait pu être traité plus complètement, je ne dis pas par M. Frenicle, le(|uel a déjii publié ce qu'il a fait là-dessus, mais par Fermât lui-même. Je ne veux pas aller plus loin, car je ne pense point que ni l'un ni l'autre prétende triompher soit de nous (au moins de Votre Seigneurie), soit de notre nation. Mais il me reste à féliciter Votre Seigneurie ([ui, provoquée par le très noble Fermât à un couj) de lance littéraire, a su maintenir sans tache l'ancienne gloire acquise autrefois par les Anglais contre les Français, qui a su prouver que les champions de l'Angleterre sont aussi puissants dans la science que dans la guerre. Votre très n(d»Ie adversaire a pu croire que ces ma-

COMMEHCILIM DE WALLIS. 503

litTcs lui claicnt réservées et qu'elles seraient inaccessibles pour les

autres (car toute terre ne porte pas tout fruit); il avoue cependant qu'<7

sera pourtant ravi d'être détrompé par cet ingénieux et savant Seigneur;

il aura donc, lui aussi, à vous féliciter. Pour moi, je ne puis que vous

rendre très humblement grâces d'avoir jugé digne d'être appelé à

prendre part à cette victoire.

Très insisne Lord,

V'otre très humble et très obéissant serviteur,

John Wallis.

Oxford, 20/30 janvier iGiy/S.