LETTRE XXXII

John Wai.lis a Vicomte Biiou.nckkh.

Vous avez eu la bonté de m'envoyer et j'ai reçu la semaine dernière, tr»">s illustre Seigneur, les solutions données par Frenicle au problème (|ue j'avais jadis proposé sur les deux carrés qui font la même somme par l'addition avec leurs parties aliquotes. Je vois par là que le très noble savant a non seulement résolu cette question, mais qu'il y a pris beaucoup plus d'intérêt que je n'avais fait moi-même.

Sa première solution est la même que ma première; car un carré impair non divisible par .) est exactement la même chose qu'un carré qui soit à la fois premier avec iG et a^'cc 25.

Quant aux autres solutions, je crois qu'elles ont absolument la même origine que les miennes, qu'elles ont été trouvées par une méthode tout à fait semblable ou du moins à peine meilleure.

Si ces solutions sont si nombreuses, il ne faut guère s'en étonner, du moment où il a jugé l'affaire digne de ses peines. Car si je ne me trompe, et comme vous le pensez aussi, il doit avoir à sa disposition une Table sufiîsamment étendue donnant jusqu'à peut-être 5oo ou même au delà les carrés, cubes (peut-être même d'autres puissances) des nombres premiers, avec la décomposition en facteurs de la somme de chacun et de ses parties aliquotes; de la sorte il est facile, de la manière que j'ai indiquée, d'obtenir un certain nombre de solutions. Qu'après en avoir trouvé sulfisamment, une personne aussi sagace puisse, en les combinant, transformant et mêlant ensemble de diverses façons, en déduire beaucoup d'autres, on ne peut en douter, dès que l'on sait de combien de manières on peut transposer sept ou huit lettres ou changer les rangs d'autant de cloches. Quoi qu'il en soit, je

suis convaincu que la découverte de ce mystère, qui nous appartient, et d'où, avec ces problèmes, en découlent une infinité d'autres, ne sera pas moins agréable aux mathématiciens que ne le serait, sans l'indication de la méthode, l'énoncé de mille nombres de la sorte.

Au reste, je n'ai jamais pensé que Prenicle ne résoudrait pas cette question que j'avais proposée d'ailleurs à un autre que lui. Puisqu'il avait dès longtemps résolu celles de Fermât, il n'était pas douteux (|u'il ne réussit aussi facilement sur la mienne, qui dépendait du même principe.

En tout cas, j'aurais préféré qu'il se fut au moins épargné la peine de former en nombres les racines des carrés par la multiplication successive des facteurs qu'il a évidemment trouvés tout d'abord; car il aurait été d'autant plus facile d'examiner, si on l'eût voulu, les nombres qu'il a donnés, ce qui ne peut maintenant se faire qu'en détruisant son travail; mais je ne m'embarrasserai pas de cet examen, qui n'est pas si important. Peut-être a-t-il craint que, s'il avait exposé la chose aussi simplement, j'en eusse conclu sa méthode qu'il croyait que j'ignorais.

D'autre part il lui a plu de changer la question que j'avais proposée, en introduisant la condition que les carrés à donner soient premiers entre eux. H a voulu ainsi éviter qu'on eût la grande facilité de donner les multiples de iG et 20, qui satisfont à la question, par un carré quelconque premier avec l'un et l'autre. Je ne regrette pas absolument cette condition, mais j'ai deux motifs pour ne pas la regarder comme tout à fait nécessaire. En premier lieu, la limitation dont il s'agit exclut plus de carrés qu'il ne faut, car il est clair que, même étant connus iG et aS comme satisfaisant à la question, il y a beaucoup d'autres carrés, même non premiers entre eux, dont la recherche n'est en rien facilitée par cette connaissance ou même par celle d'autres carrés premiers entre eux. Ainsi je le fais juge s'il est en rien plus facile de trouver 8 x 3 x 37 et 2 x 19 x 29 ou bien 3 X 4 X 1 1 X 19 X 37 et 7 X 8 X 29 X G7 que j'ai donnés, quoiqu'ils ne soient pas premiers entre eux, que s'ils l'étaient. En second lieu.

quoique la chose soit facile pour Frcniclc (on tant qu'il sait qu'un nombre formé de deux ou plusieurs nombres jjremiers entre eux, si on l'ajoute à ses parties aliquotes, donne une somme égale au produit de ces nombres premiers entre eux, augmentés chacun de ses parties aliquotes; ce qui est le principal mystère dans les questions de ce genre), celui qui ignore ce principe n'aura pas plus de facilité pour reconnaître, comme propres à la question, les équimultiples des nombres donnés plutôt que d'autres carrés premiers entre eux; au contraire, celui qui connaît le principe n'aura pas beaucoup plus de facilité pour trouver la méthode de recherche applicable aux autres carrés premiers entre eux.

Enfin il donne non seulement des assemblages par deux, mais par trois, quatre, cinq, etc. Mais le très noble savant sait très bien que, à part la peine du calcul, il n'y a là rien do nouveau [lar rapport îi la question que j'ai proposée; les assemblages de (rois, (|uatre, etc., voiro même de cent, se trouvent en ellot jiar la mémo méthode absolument que ceux de deux; et mémo, dans le petit nombre do ceux ((iio j'ai indiqués, il trouvera trois carrés remplissant la condilioii dont il s'agit; savoir ceux do 3 x 'i X m x i() x 3;, de 3 x j X 1 1 x rç) x 3; et de 7 x 8 x 29 x 0-, puisque chacun d'eux, ajouté à ses parties aliquotes, donne comme somme

3x3x7X7Xi3xi9x3ixG7Xi27.

Il n'y aurait non plus rien do nouveau si ce que j'ai |»ro|)osé pour les carrés l'eût été pour les cubes, bicarrés, etc.; si ce que j'ai proposé pour l'égalité des sommes l'eut été pour leur relation dans un rap|»orl donné (possible). Dans des cas de ce genre, le calcul peut être plus long avant que le but soit atteint, mais les solutions dépendent toujours du même principe, et sont à oborclier toujours par le même procédé; ce que sait parfaitement notre si sagace Correspondant. Cela peut au reste s'appli([uor aux autres questions de ce genre en nombre intini.

Il me reste encore ii vous dire que je viens précisément de recevoir

l'ERMAT. — m. 70

de Hollande une lettre que m'a écrite M. Schooten et que je crois devoir communiquer à V. S. Après l'avoir lue, je suis absolument <lans la croyance que la méthode dont s'est servie M. Frenicle pour la solution de la troisième question de Fermât (celle du carré dont le produit par un nombre donné non carré soit inférieur d'une unité à un carré) ne vaut pas celles qui ont été données d'ici, au moins la seconde. Je vois en oiïct qu'il a hésité sur le donné non carré 109, ce (jui est clair même d'après son traité imprimé, où il dit que le carré qui se rapporte à ce nombre lui a été communicjué par M. Fermât; je vois aussi que cette méthode montrée, semble-t-il, à M. Huygcns, lui a paru tellement pénible qu'il a reculé devant l'application; la notre au contraire est si commode qu'en très peu de temps elle peut fournir des nombres très considérables. Mais de fait je n'ai pas encore vu celte méthode de Frenicle, qu'il a jugé à propos de taire dans son Traité imprimé, et je n'en puis parler que par conjectures; je ne veux don(^ faire aucune affirmation téméraire. Quant ;i la lettre de Schooten, s'il plait à V. S. qu'elle soit jointe aux nôtres lors de l'impression de celles-ci (ce qui me paraît intéressant et ce qu'il désire lui-même), je vous prie de me le faire savoir et m'empresserai d'accomplir, autant que possible, votre vœu, comme.

Très illustre Seigneur,

A'^otre très obéissant et très respectueux

John Wallis.

Oxford, i3/23 avril iG58.