LETTRE XLIV

John Wallis a Kenei.m Digby.

Je vous rends très humbles grâces, illustrissime Seigneur, pour votre lettre du 8 mai, que j'ai reçue avec celle de Frcnicle y incluse. Si je ne puis revendiquer comme m'étant dues les louanges dont vous m'accablez (car qui peut les mériter pour la solution de quelques problèmes d'Arithmétique ou de Géométrie?), je ne puis estimer peu de chose de recevoir de vous de tels éloges spontanés. Qu'ils viennent d'une appréciation dont chez de telles personnes le poids est toujours considérable, qu'ils ne soient dus qu'à l'affection, on doit également priser soit l'estime, soit l'amour des grands hommes, et si je puis du moins être assuré de l'une ou de l'autre, je dois le reconnaître avec gratitude. En tout cas je suis heureux, illustrissime Chevalier, d'avoir heureusement répondu, soit à vos désirs, soit aux questions de vos clarissimes Correspondants, et s'il reste encore quelque point où ils ne croient pas avoir encore entière satisfaction, comme j'ai résolu leurs principales propositions, et donné les méthodes de solution (que d'ailleurs le temps me manque), je ne crois pas que le reste vaille la peine de nous embarrasser d'escarmouches sans fin. Je ne doute pas en effet qu'ils ne pensent bien, au vu de nos solutions, que nous pouvons également résoudre le reste, pourvu que nous ayons le désir et le loisir de nous en occuper; et je ne crois pas non plus que vos très nobles Correspondants exigent que nous le fassions. Car ils ont négligé toutes nos questions, sauf celle des deux carrés qui.

ajoutés à leurs parties aliquotes, fassent la même somme, point sur lequel j'ai eu ample satisfaction; ils ne doivent donc pas se fâcher si je ne réponds pas à quelques-unes de leurs demandes.

Cependant, pour ne pas paraître tergiverser, voici ce que je dirai à la hâte sur les deux questions qui restent dans la dernière lettre de Fermât.

En premier lieu, il demande deux cubes rationels faisant la mémo somme que les deux donnés i et 8. Je réponds que les cubes du nombre

positif — et du négatif — donnent la même somme que i et 8, car

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Le même moyen qui m'a donné un cube positif et un négatif ou, ce qui revient au même, la différence de deux positifs égale à la somme des deux cubes donnés, ce même moyen fournira aussi deux positifs; mais le couple ci -dessus s'est présenté d'abord. Certes, votre tri's savant Correspondant ne peut estimer plus difficile de trouver deux cubes rationels qui fassent une somme donnée (possible) que deux qui fassent une différence donnée (possible), quoiijue le calcul puisse être plus long soit d'une façon soit de l'autre. Au reste, dans le cas proposé, il ne s'agit que de trouver deux cubes dont la somme fasse neuf fois un cube; en prenant une Table de cubes et en employant des abrégés qui se présentent d'eux-mêmes h un homme exercé, et analogues à ceux que nous avons déjà mis en œuvre pour le troisième problème de Fermât, il n'y a pas une grande difficulté pour qui veut entreprendre le calcul, car ces cubes, divisés par le troisième, donneront pour somme le nombre 9 = 84-1. Telle est la méthode à employer pour toute somme ou différence possible de cubes à chercher.

En second lieu, il propose de démontrer ce théorème : // n'y a en nombres aucun triangle rectangle dont l'aire soit un nombre carré. Voici comment je le prouve :

Dans la ligure ci-contre {/ig. 8), dont le tracé est immédiat, les côtés

du triangle rectangle BCD ne peuvent être énonçablcs en nombres, si AD et DE ne sont pas entre eux comme des nombres plans semblables (autrement leur produit no sera pas un nombre carré, et la racine BD

ne sera pas énoncable) ou comme des nombres carrés. Soient les nombres xa^, ic^. Dès lors CB, CD, BD seront proportionels à ar + e-, à- — c^, -iae, et CD, |BD le seront à à- — e'-, ae. Dès lors, comme la différence de deux carrés et leur moyen proportionel ne peuvent être des plans semblables, leur produit ou l'aire du triangle ne peut être un carré, c. q. v. n.

Au reste, je n'ai rien appris du sentiment de Fermât sur nombre de nos lettres, car pour toutes celles qui ont suivi la date du 5 novembre, le silence est com|)let.

Quant à votre dernière lettre et à celle de Frenicle, je n'ai qu'à

vous remercier pour mettre enfin un terme à ces discussions et aussi

à l'ennui qu'elles vous ont occasionné liors toute mesure et dont je

demande pardon pour.

Très illustre Chevalier,

Votre très humble, très obéissant et dévoué serviteur,

JoiiN Wallts.

Oxford, 2o/3ojuin iGJ8.

APPENDICE AUX LETTUES PRÉCÉDENTES o.

J.ETTRK XLV (47).

John Waixis a Vicomte Brounckeii.

Tros illustre Lord, les lettres qui précèdent étaient déjà imprimées et commençaient à être distribuées quand j'ai reçu aujourd'hui, par votre intermédiaire, une lettre de l'illustrissime chevalier Dighy, datée du 19 juin, (|ui en renfermait une autre de M. de P'ermat. Celle du ■->,) mai dont il parle doit être perdue avec ce qu'elle pouvait renfermer, ou du moins rien ne m'est [larvenu. Mais pour celles que je viens de recevoir, en raison de plusieurs propositions de Fermât, • élégantes et dignes de lui, je les ai aussitôt envoyées à l'imprimerie, pour les joindre comme appendice aux autres, au moins dans les exemplaires qui ne sont pas encore parus. Ainsi le puhlic pourra connaître lies spécimens d'un tel génie, bien dignes d'un homme aussi supérieur, et ce sera une raison pour forcer cet illustre savant de mettre au jour ce (]u'il garde jusqu'à présent pour lui. Il est bien établi que dans ces matières il est au premier rang, qu'il s'est particulit-remenl occupé de questions sur les nombres généralement négligées jusqu'il présent, qu'il a l'ait aussi en Géométrie des recherches d'une admirable subtilité; on ne peut donc permettre qu'il garde pour lui et le> siens tout ce trésor (jui serait d'un si grand prix pour l'univers savant, .le suis sûr que là-dessus votre Seigneurie est entièrement de mon avis, comme elle le sera pour les remercinients à lui faire en raison de l'aiïabilité (pi'il nous témoigne et de l'éloge dont il nous honore, éloge que nous avons plaisir à lui retourner. Mais il faut ou ne [»as répondre à sa

(') Dans la seconde cclilion du Comincrcium, lu distinction comnio appendice a clé supprimée, et les lellrcs snivantes sont imprimées dans l'ordre XLVl, XLVII, XLV; lenr nouveau numérotage est iadiiiué entre parcnlhcscs et en cliiiïres modernes.

i'K»!iAT. - ni. 7^

lettre ou différer de le faire, puisque nous avons eu à peine le temps

de la lire avant de l'envoyer à l'imprimerie, pour suivre le reste déjà

terminé. D'ailleurs oe qu'il a déjà fait lui-même, il n'est pas nécessaire

que nous le fassions à notre tour; là où il peut être arrêté, si notre aide

pouvait lui être utile, nous ne la refuserons pas. Après vous avoir écrit

à la hâte, il me reste à me dire.

Très illustre Lord,

Votre très respectueux et très obéissant John Wallis.

.Oxford. 3/i3 juillcl iC58.

LETTRE XLVI (45), Kknei.m Digby a John Wallis.

Noble Sir, j'ai dernièrement reçu de M. Fermât le papier ci-inclus avec prière de lui de l'envoyer à Mylord Brouncker et à vous-mêmo. J'espère que vous aurez reçu mes lettres des 8 et 20 mai. Mais le principal objet de celle-ci sera de prendre congé de vous pour plusieurs mois; car je vais entreprendre un long voyage qui me prendra au moins tout cet été. Si je retourne à Paris, je vous en informerai en vous présentant mes humbles respects. En même temps je cesse de

vous importuner et je reste.

Noble Sir,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

que vous honorez grandement,

Keselm Digby.

Paris, i(j juin iGJ8.