AD = {(2AH+AE

11 fallait faire cette remarque, mais elle n'a pas besoin d'une plus longue explication.

Keiisiat. — ni. O

SEcoNnE PROPOSITION. — Soiciit SUT la (Iroite AE {fig. 43) des points donnés en nombre quelconque, quatre par exemple, A, H, (\, K, et un point Q en dehors de la droite AE; on cherche un cercle, comme Ml, tel qu'en prenant sur ce cercle un point quelconque I, on ait AI- 4- RI- + CI- + l<]I- -h QI- égal h une aire donnée.

Abaissez sur la droite AE la perpendiculaire QR et prenez AD, fraction conditionnée de la somme AR -t- AR 4- AC + AE (le cinquième dans ce cas où l'on donne cinq points). Elevez la perpendiculaire 1)0 et abaissez sur elle la perpendiculaire QO. Prenez RK = ON, fraction conditionnée (ici le cinquième) de la droite QR, et soit l'espace donné égal h la somme AD- + RD- 4- BD= + CD- + ED^ -+- Z.

Faisons Z= IDN-'-i- 0N-+ oNiAI- (4 étant le nombre des points donnés sur la droite AE, et 5 le nombre total des points donnés). Je disque le cercle décrit de N comme centre, avec NM comme ravon, satisfait à la question.

En effet, prenez sur ce cercle un point quelconque I, joignez AI, RI, Cl. El, QI. Menez VIX parallèle à AE cl lY parallèle à OD; il est clair, d'après le corollaire de la proposition précédente, que 4DI-H- Ol-rrr Z, Car le point D joue le rôle de quatre points; et puisque DN = iOD, il est évident que 4DI- 4- 01- = 4DN- + ON- + 5NM-. Mais 4DN-4-ON-+5NM- = Z par construction. Donc 4DI- + 0I- = Z.

115, 4G] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 43

Mais 4I)I- = 4DX- + 4XI- ot Or' = 0X- + XI-. Donc Z = 4DX^=zz 41Y2) + X0^{- VQ2) -H5Xr^

Ajoutez (le part et d'autre AD- + RD- h- BD- -+- CD- + lîD-, vous aurez, dans le [iremier membre, l'espace donné, car, par hypothèse, il est égal à la somme de ces cinq carrés et de Z; dans le second membre : AI- -I- B|- -t- Cr--t- El- + QI-, somme qui sera donc égale à l'espace donné.

En eiïet, d'après le second lemme :

AD^ H- IW- -4- BD^ -H CD' + ED^ -t- 5 DY^ = AY^ -+- RY^ + BY^ + CY- + EY^ ;

donc

AD' H- RI)'- + BD' -i- CD= + ED' + /JIY- + VQ^ + 5 DY'

= AY' -t- RY- + BY' + CY2 h- EY' + 4 IY- -î- VQ-.

Si, à chacun des carrés AY-, BY-, CY-, EY-, on ajoute lY-, on aura

Al'- H- BV- + Cl- + Er- -- A Y' + BY- + CY^ + EY- + 4 lY^ Donc

AD--t- RD^-h BD"--i- CD=+ ED^-+- 4IY'-i- VQ'+ 5DY^ = AP+ BF-r^ CI^+ 1E'--+- RY^+ VQ-.

Mais RY-( = VPj + Q\- = QI-. Donc

AD^+ RD^+ BD--t- CD=4- ED-+ 41YM- VQ'+ 5DY- :^ AL + BP + CP + EP -h QP.

IMais on a prouvé que le premier membre est égal à l'aire donnée;

donc

AP + BP -+- CP 4- El- + QP — l'aire donnée. c. q. f. u.

On en déduira facilement que l'aire donnée est égale à