AN' -H BN' -+- CN' --H EN' + QN= -+- 5 N\P

ce que nous avons omis comme évident.

liicn plus le inèinc artifice peut s'appliquer à un nombre quelconque de points.

kk Œ U V |{ ES DE F E R M AT. [ 'iG, M |

Si par exemple on donne deux points Q, L (Jtg- 44) en dehors de la ligne, la construction s'achèvera comme on le voit, en prenant

A1) = HAR-hAS + AIJ + AC-;-AE), puis DN = -i(QR + LS),

et en faisant

Taire donnée = AD^ h- RD' + Sl)^ -i- BD^ + CI)^ + ED^

-h 4DN2-t- N0^+ NP^-H 6NM^

On terminera de la même manière, le point D jouant toujours le rôle

Fig. «.

de tous les points donnés sur la droite \E, et les points P, 0 jouant le rôle des points Q, L.

La méthode de construction et de démonstration est indétiniment la même.

Mais, comme des cas multiples découlent de la différente position de la droite prise et passant par deux ou plusieurs points, mais pouvant laisser les autres dans diverses positions de chacun de ses côtés, quoique pourchaque cas il y ait des abréviations spéciales, je préfère, comme spécimen du procédé, montrer plus généralement la construction.

Soient des points donnés en nombre quelconque A, H, C, I), E, F

[■il, 48]

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS

( fig- \5) sur la moine droite ou sur des droites différentes. Prenez dans le même plan une droite quelconque SR, qui laisse tous les points

Fig. 45.

lionnes du même côté; abaissez les perpendiculaires AG, BH, CI, DK, KiM, FN, prenez GL fraction conditionnée (dans ce cas, i) de

r.n + GI -t- GK -H GM + GN ;

élevez la perpendiculaire LO, et prenez LO fraction conditionnée (ici ^) de AG -f- BH + CI + KD + EM + FN.

Soit l'aire donnée égale à

AO--h [50-+ CO^-i- UO--H EO--f- FO=-t- 60P-;

le carré décrit de 0 comme centre, avec OP pour rayon, satisfera ;i la question; la démonstration est facile pour qui a étudié ce qui précède.

Proposition VI.

« Si, de deux points donnés, on mène deux droites qui se coupent, et de leur rencontre une droite interceptant une abscisse à partir d'un point donne sur une droite donnée de position, si ta somme des carrés des prenuéres menées est égale au produit d une donnée et de l'abscisse, le point de rencontre sera sur une circonférence donnée de position. »

.le donne la proposition comme on la trouve dans Pappus d'après la version de Fédéric Commandin, mais je ne doute pas qu'il n'y ait une

faute, soit dans le texte grec, soit dans la traduction. Voici le sens de la proposition :

Soient deux points A, B {fig. 46) ; il faut trouver une circonférence comme NOB, sur laquelle on prend^-a un point quelconque (); en joi-

Fig. 4'i.

gnant OA, OB et en abaissant la perpendiculaire 01, on devra avoir l'égalité entre le produit de AI par une donnée et la somme AfP + OB-.

Supposons d'abord que AB soit la droite donnée, cas assez simple.

Prenez BN = ^AB, et décrivez sur BN un demi-cercle; il résoudra le problème, c'est-à-dire que si on y prend, par exemple, le point 0, on aura BA x AI = A0= + 0B%

En elfet, AO- = AI-+IO-. Si donc de BA x Al on retranche AP H- !()=(= BI.IN), il reste BI x AN ou BI x NB à prouver égal :i OB'-, ce qui est évident d'après la construction.

Second cas : la droite donnée est plus grande que AB, mais plus petite que 2AB. Nous allons donner la construction :

Soient donnés les deux points A et B {fig. 47) et la droite Al <2AB, par hypothèse; il faut résoudre le problème proposé.

Fig. 47.

Prenez en N le milieu de AB : soit NR = -- (E restera compris entre AetB). Appliquez sur la droite BE le rectangle IB.BN en excédent d'une figure carrée ('); soit trouvée la largeur EV, prenez BZ = EV, et sur VZ décrivez le demi-cercle VLZ, je dis qu'il résout le problème.

( I ) C'cbt-à-dire : conslniiscz EV d'après la condilioii IB.BN = BE.EV + EV-.

LW, 50] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 47

En efTot, joignez LA, LB et abaissez la perpendiculaire LO que nous supposerons, comme premier cas, tomber entre E et B. Il est clair, d'après la démonstration de la proposition III d'Apollonius [dans ce même Livre], que EO.OB -i- VE.EZ(:= NB.Bl) = 0L=.

Ajoutez de part et d'autre OB-, il vient

EB . 150 -h NB . BI z= 0L= + OB^

Doublez : aEB.BO + 2NB.BI (=-. AB.BI) = 2(L0=+ OB^). Ajoutez de part et d'autre 2NE.OB, il vient

( ?. EB . BO -+- 2 NE . OB ) (= AB . BO ) -f- AB . BI