LO"-H- OB- ) + 2NE.OB (= IB.BO
d'après la construction.
Retranchant de part et d'autre OB-, il reste
AO . OB -h AB . Bl = 2 LO^ -t- OB^ + IB . BO.
Retranchant de part et d'autre IB.BO, c'est-à-dire dans le premier membre de AB.BI, il reste AO.OB + AO.Bl ou en tout
lO.OA — -iLO^-hOB^
Ajoutez AO^ de part et d'autre :
LA.AO = AO^+OB2^-2LO-=AL^^-LB^ <;. q. k. u.
Je passe les autres cas.
PROPOSITlOîi VIL
« Si, à l'intérieur d'un cercle donné de position, on a un point donné, par lc(picl on mène une droite; si l'on prend sur cette droite un point extérieur, et (pie le carré de la menée jusqu'au point donné à l'intérieur soit égal au produit de la droite totale et de sa partie extérieure, seul ou augmenté du produit des deux segments intérieurs au cercle, le point /tris à l'extérieur sera sur une droite donnée de position. »
(".efle proposition comprend deux parties : la première est dans Pappus (Livre Vil, i)rop. 159); la seconde se déduit facilement de la
première en ajoutant des termes égaux. Je donnerai seulement la démonstration de Pappus.
Soit un cercle de diamètre AB {fig. 48); prolongez AB jusqu'il une droite quelconque DE qui lui soit perpendiculaire.
Fig. .'48.
Soit AF.FB = FG'. Je dis que, quel que soit le point K, si on le joint il G par une droite prolongée jusqu'en H, on aura HE.EK = EG-.
Joignez AE, BL, l'angle en L est droit comme celui en F. Donc AE.EL = AF.FB4-FEv
En eiïet ALB, comme droit, est égal au droit AFE; donc les quatre points L, B, F, E sont sur une circonférence; donc FA.AB = EA.AL. Mais AE- = AF- + FE-. et aussi AE^ --= AE.EL + EA.AL; de même AF^ = AF.FB+FA.AB. Donc AE.EL+EA.AL = AF.FB+FA.AB+FE^ Mais comme EA.AL = FA.AB, il reste AE.EL = AF.FB + FE-. Mais AE.EL = HE.EK et AF.FB = FG^ Donc HE.EK = EF= + FG-= EG=.
Proposition VIII et DERMkiiK.
Il El SI le même point est sur une droite donnée de position, et t/ue le ccrele ne snit pas dans les positions, les points des deux côtés du point donne seront sur une circonférence donnée de position. »
Cette proposition est réciproque de la précédente, et la démonstration peut en être facilement déduite en suivant une marche inverse.
Je n'ajoute pas la distinction des différents cas ni les conditions de limites pour les données; tout cela ressort assez clairement de la construction et de la démonstration.
