DES CONTACTS SPHÉRIQUES

La théorie des contacts d'Apollonius de Perge a été élégamment restituée par l'Apollonius Gallus, masque sous lequel se cachait ce François Vil'tc de Fontenay dont les admirables travaux en 3Iathématiques ont fourni de si heureux suppléments ii la Géométrie ancienne. Mais cette théorie des contacts a jusqu'à présent été bornée aux plans, et personne, que je sache, ne l'a poussée plus loin et ne s'est hasardé à l'élever aux problèmes sphériques.

On va voir qu'on arrive dans cette voie ii de brillants problèmes et qu'on peut facilement obtenir une élégante construction pour les questions les plus ardues.

Il s'agit en général de chercher une sphère passant par des points donnés ou touchant des sphères et des plans donnés. Tout le sujet sera épuisé en quinze problèmes.

Problème I.

Etant donnés quatre points, trouver une sphère passant par ces points.

Soient donnés quatre points N, 0, M, F {fig. 49), par lesquels il faut mener une sphère. Prenant ad libitum trois de ces points N, 0, JM, au triangle NOM (qui est dans un même plan, d'après les Éléments), je circonscris un cercle NAOM, qui sera évidemment donné de grandeur et de position. Il est clair que ce cercle NAOM est sur la surface de la sphère cherchée, puisque, si une sphère est coupée par un plan, la section est un cercle, et que, par les trois points N, M, 0, il ne passe

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([u'iin corclc, colui que j'ai coiistniit. Les points N, M, 0 étant sur la surface de la sphi-re cherchée, le plan du triangle NMO coupera la sphère cherchée suivant le cercle NAOIM; nous en concluons donc que ce cercle est sur la surface de la sphère.

Soit C le centre de ce cercle, j'y élève au plan du cercle la perpendiculaire CRB; il est clair que le centre de la sphère cherchée est sur cette droite CB. Du point F j'abaisse sur CB la perpendiculaire FB (|ui sera évidemment donnée de grandeur et de position; par C je mène, parallèlement à FB, la droite ACD. L'angle BCA sera droit, mais, la droite BC étant perpendiculaire au plan du cercle, ACD sera dans ce plan et donnée de position. Donc ses points de rencontre A, D avec le cercle sont donnés.

Supposons maintenant le problème résolu, et E le centre de la sphère cherchée, point qui se trouve sur la droite CB, comme nous l'avons déjà dit d'après Théodose. Je joins FE, AE, ED; ces droites seront égales, puisque par hypothèse F et par démonstration A et I) sont sur la surface de la sphère. Biais ces trois droites FE, AE, ED sont dans un même plan, puisque FB, ACD, parallèles, sont dans un même plan qui comprend aussi CB et par conséquent les trois droites FE, AE, DE. Si donc par les trois points donnés A, F, D on fait passer un cercle, son centre E sera sur la droite CB, et on aura dès lors le centre de la sphère cherchée, et la sphère elle-même.