IV

CONTACTS SPIIEKIQUES.

PnoBLÈnE H.

Etant donnés trois points et un plan, trouver une spliére passant j)ai les points donnés et tangente au plan donné.

Soient donnés les trois points N, 0, M {f'g- 5o); le cercle MEON passant par ces points sera, comme il a été démontré, sur la surface

de la sphère cherchée, et le centre de cette sphère sera sur la perpendiculaire IBA au plan de ce cercle. Soit A le point de rencontre de IBA avec le plan donné ; ce point A sera donné de position. Du centre du cercle MEON, j'abaisse sur U\ plan donné la perpendiculaire ID; le point l) sera donné, donc la droite AD de grandeur et de position, donc de même les droites ID, lA. Donc le plan du triangle ADl est donné de position; mais celui du cercle MON est également donné de position, donc l'intersection FIE de ces deux plans sera donnée de position, donc les points E, F sur le cercle.

Supposons maintenant le problème résolu et B le centre de la sphère cherchée; je joins BE, BF et je mène BC parallèle à II); le triangle ADI et la droite EIF étant dans un même plan, les droites EB, BF, BC y seront également. Mais ID est perpendiculaire au plan donné; doncBC, qui lui est parallèle, sera aussi perpendiculaire au plan donné.

De plus, commo la sphôro chorchéc doit être tangente à ce plan donné AD, la perpendiculaire lîC, abaissée de son centre sur ce plan, donnera le point do contact C. Donc les droites BC, BE, BF seront égales, et il est prouvé qu'elles sont dans un même plan donné de position, plan qui comprend aussi la droite AD.

Le probli'nne est donc ramené, étant donnés dans un même plan deux points E, F et une droite AD, à trouver un cercle passant par les deux points donnés et tangent à la droite donnée; ce problème a été résolu par Apollonius Gallus; donc le centre de la sphère B est donné, et tout est clair.

Problème III.

Etant donnes trois points et une sphère, trower une sphère passant par les points donnés et tangente à la sphère donnée.

Soient donnés les trois points M, N, 0 {fig- 5 1) et la sphère IG ; on a comme donné le cercle MON de la sphère cherchée. La perpendi-

culaire FCB au plan de ce cercle contiendra encore le centre de la sphère cherchée. De I, centre de la sphère donnée, j'abaisse sur FB la perpendiculaire IB, qui sera donnée de position et de grandeur. Par le centre F, je lui mène la parallèle ED ; d'après ce qui a été démontré, elle sera dans le plan du cercle et les points E, D seront donnés.

[ôG, 571 CONTACTS SPIIÉRIOUES. 53

Supposons maintenant le problème résolu et C le centre de la sphère cherchée. Les droites IC, CE, CD seront dans un même plan donné, puisque I, E, D sont donnes. Le point de contact des deux sphères est d'ailleurs sur la droite qui joint leurs centres; donc la sphère cherchée sera tangente ii la sphère donnée au point G, et IC sera supérieur du rayon 10 à la droite CE ou CD. De I comme centre, avec le rayon de la sphère donnée, je décris dans le plan donné des droites IC, CE, CD, un cercle qui passera par le point G et sera donné de grandeur et de position. Mais les points E, D sont dans son plan. La question est donc ramenée à chercher, dans Apollonius Gallus, le procédé pour, étant donné dans un mémo plan deux points et un cercle, trouver un cercle passant par les deux points donnés et tangent au cercle donné.

Problème IV.

Etant donnés quatre plans, trouver une sphère qui soit tan fiente à ees quatre plans donnes.

Soient donnés les quatre plans AH, AB, BC, HG {Ji^: 53) que doit toucher la sphère cherchée.

Soient deux plans AF, FD {fig. 52) tangents ii la même sphère;

mcnons'lc plan BFHC qui bissecte leur angle; il est assez clair que le centre de la sphère tangente aux deux plans AF, FD se trouve sur le plan bissecteur, pour qu'il soit inutile de s'arrêter plus longtemps sur une chose si simple. Si les deux plans AF, FD étaient parallèles.

g:uvres de feumat.

le centre de la sphère serait sur le plan parallèle coupant par moitié leur intervalle.

Cela posé, puisque les deux plans CB, BA {fig. 53) sont donnés de position, le centre de la sphère cherchée est sur un plan donné de position, à savoir le bissecteur de l'angle des deux plans donnés CB, BA.

Fis. ^^■

Mais, en raison des deux plans BA, AH, le même centre de la sphère cherchée est sur un autre plan également donné de position, et l'intersection des deux plans donnés de position, qui bissectent, l'un l'angle des plans CB, BA, l'autre l'angle des plans BA, AH, donne une droite donnée de position qui passe par le centre de la sphère cherchée. Soit FE cette droite; on raison des deux plans AH, HG, le centre de la sphère cherchée est encore sur un autre plan donné de position, dont l'intersection avec la droite donnée de position FE, donnera un point I) qui est évidemment le centre de la sphère cherchée. Le reste est clair.

Problème V.

Etant donnes l rois plans et un point, trouver une sphère tangente aux plans donnes et passant par le point donné.

Soient donnés les trois plans AB, BC, CD {fig. 54) et le point H ; il faut trouver une sphère tangente aux trois plans donnés et passant par le point H. Supposons le problème résolu.

Les trois plans donnés, d'après le raisonnement de la proposition précédente, donneront de position une droite qui passe par le centre

[58] CONTACTS SPIIERIQUES. 55

de la sphère cherchée. SoitGE celte droite. J'abaisse sur elle, du point donné II, la perpendiculaire HI, qui sera donnée de position et de grandeur; je la prolonge jusqu'en F, en sorte que IF = IH; le point F sera donné.

Fip. S',.

Le centre de la sphère cherchée est sur la droite GE, laquelle est perpendiculaire en I sur le milieu de la droite IIF, dont l'extrémité H est, par hypothèse, sur la surface de la sphère. L'autre extrémité K sera donc également sur la surface de la sphère; bien plus le cercle, décrit de I comme centre, avec IH comme rayon, dans le plan perpendiculaire à GE, sera sur la surface de la sphère; or ce cercle est donné de grandeur et de position. Mais si un cercle de la sphère est donné de grandeur et de position, en même temps qu'un certain plan comme AB, d'après un corollaire facile de notre proposition H, la sphère passant par le cercle donné et tangente au plan donné sera donnée. La question est en effet ramenée au problème H, et la solution est dès lors évidente.

PitODLÈ.ME VI.

Etant donnés trois plans et une sphère, trouver une sphère tangente à la sphère donnée et aux plans donnés.

So ient donnés les trois plans ED, DU, BC {fig. 55) et la sphère RM ; il faut construire une sphère tangente à la sphère donnée et aussi aux trois plans donnés.

Supposons le problème résolu et la sphère ERCA satisfaisant aux conditions, c'est-à-dire touchant la sphère en R et les plans aux points E, A, G. Soit 0 le centre de cette sphère ERCA; joignez RO, EO, AO, CO; CCS droites seront égales. D'ailleurs OR passera par le centre M

(le la sphère donnée, et les droites KO, OA, OC seront perpendiculaires aux plans donnés DE, DB, BC. Prenons OV = OG = 01 = OM, et par les points V, G, I, imaginons menés les plans VP, GH, IN parallèles aux plans donnés ED, DB, BC.

Puisque OR = OE et OM = OV, par dilTérencc, RM = VE. Mais RM, rayon de la sphère donnée, est donnée de grandeur; donc VE est aussi donnée de grandeur. D'ailleurs OE, perpendiculaire au plan DE, le sera au plan VP parallèle au plan DE; donc VE sera la distance des plans DE, PV. Mais il a été démontré que VE est donnée de grandeur, donc l'intervalle des plans parallèles DE, PV est donné, ainsi que la position de l'un d'eux DE, par hypothèse. Donc PV est aussi donné de position. On prouvera de même que les plans GH, IN sont donnés de position. Or les droites OV, OG, 01 sont perpendiculaires ii ces plans et égales ;i OM. Donc la sphère décrite de 0 comme centre, avec OM pour rayon, sera tangente aux plans PV, GH, IN donnés de position. Mais le point M est donné aussi, comme centre de la sphère donnée. Ainsi la question est ramenée à celle-ci : Etant donnés trois plans PV, GH, IN et un point M, trouver une sphère passant par le point donné M et tangente aux plans donnés PV, GH, IN, c'est-à-dire que le prohlème est ramené au précédent.

J'userai dans la suite du même artifice quand il n'y aura pas de points parmi les données, mais seulement des sphères et des plans, pour substituer un point donné à une des sphères.