GO

CONTACTS SPIIÉUIQUES.

Problème Vil.

Etant donnés deux points et deux plans, trouver une sphère passant par les points donnés et tangente aux plans donnés.

Soient donnés les deux plans AB, BC {/ig. 5G) et les deux points H, M; il faut trouver une sphère passant par les points H, M et tangente aux plans AB, BC.

Je joins HM, je prends son milieu en I ; par le point I, qui est donné, je fais passer un plan normal à la droite; HM. Les points H, 31 étant

sur la surface de la sphère, il est clair que le centre de la sphère est sur ce plan normal à IIM et passant par I, plan qui est donné de position, puisque la droite IIM et le point I le sont.

Ainsi, à cause des points II et M, le centre de la sphère est sur un plan donné de position. Mais, à cause des plans AB, BC, par une démonstration déjà laite, il est aussi sur un autre plan donné, donc sur une droite donnée de position, soit GE. J'abaisse sur cette droite, de l'un des points donnés M, la perpendiculaire MF; elle sera donnée de grandeur et de position. Je la prolonge jusqu'en D en sorte que FD = MF. Le point D sera donné et, d'après une démonstration déjà faite, se trouvera sur la surface de la sphère. On a donc comme données : trois points H, M, D par lesquels passe la sphère cherchée, cl le plan AB auquel elle est tangente; la question est donc ramenée au problème II.

l'ennAT.

58 ŒUVRES DE FERMAT. [GO,Gl]

Avant d'aller plus loin, il faut établir quelques lemmes faciles. Li'MME I. — Soit le cercle BCD {fig. .J7) en dehors duquel je prends un point quelconque E; par ce point et le centre je mène la droite EDOB, puis une autre quelconque EGA. 11 est clair, d'après les Eléments, que AE.EC = BE.ED.

Soit maintenant la sphère de centre 0 et de grand cercle ACDB; si du même point E, par un point quelconque de la surface de la sphère, je fais passer une droite EGA jusqu'à sa seconde rencontre avec la surface sphérique, on aura encore AE.EG = BE.ED.

Si en effet on imagine qu'autour de la droite BDE immobile tournent et le cercle et la droite EGA, les droites EG, EA restent invariables, puisque les points G, A décriront des cercles normaux sur l'axe. Par conséquent, dans tous les plans on aura AE.EG = BE.ED.

Lemme II. — Soient dans un même plan deux cercles ADE, HLO

Fis. SS.

{Jlg. 58); par leur centre je fais passer la droite ACMP et je suppose rïv — ÏÏM ~ SÏÏ»' ^^^ '*^ point P je mène ad libitum une droite POLE!)