IG1,62] CONTACTS SPHÉRIQUES

coupant les deux cercles, aux: points 0, L, E, D. Apollonius Gallus a démontré que l'on a

AP.PQ = r,P.PIIr:rDP.PO = EP.PL.

La vérité de cette proposition en sphériquc importe pour les prohlèinos suivants. Mais elle est évidente; car si, autour de l'axe AI* immobile, on fait tourner en même temps les deux cercles et la droite POLED, les droites PO, PL, PE, PD resteront invariables pour la raison donnée dans le lemme précédent; les rectangles restent donc aussi invariables et la proposition est vraie dans un plan quelconque.

Lemme III. — Soient données deux sphères YN, XIM {fig- 09), par

Fig. 59.

les centres desquelles on fait passer la droite RYNXlMV ; je pose

rayon YN YV ,-, ■ . at • • ^n-c 1 1 1

-^ ^nrf = iTV Du point V, le mené VIS dans un plan quelconque,

rayon XM VX r ' j 111

et je pose SV.VT = RV.ViM. Si l'on décrit une sphère quelconque passant par les points T, S et touchant une des deux sphères, elle touchera également l'autre.

Supposons la sphère OTS, passant par les points T, S et tangente en 0 à la sphère MX; je dis que la sphère YN sera également touchée par la sphère OTS.

60 a<:uvRES de fermât. [63, g4]

Je prolonge VO jusqu'à sa seconde rencontre en Q avec la sphère OTS. D'après le premier Icmme : QV. VO = SV.VT. Mais par construction : SV.VT = RV.VM. Ce dernier rectangle, d'après le second Icmme, est égal au produit de VO et de la droite passant par V, 0 et prolongée jusqu'à la rencontre de la sphère YN. Donc le point Q est sur la surface de la sphère YN : il est donc commun aux surfaces des deux sphères YN, OTS.

Je dis maintenant que les deux sphères se touchent en ce point Q. Menons en effet par le point Vetun point quelconque de la sphère OTS, une droite quelconque dans un plan quelconque, soit VZ qui, prolongée, coupe les trois sphères aux points Z, D, H, K, P, B. D'après les lemmes I et H :

ZV.VB (sphère OTS) = DV.VP (sphères XM, YN).

Mais DV>VZ, puisque la sphère OTS touche extérieurement la sphère XM en 0, et que la droite qui coupe la sphère OTS la rencontrera dès lors avant de rencontrer la sphère XM. Puis donc que DV.VP = ZV.VB et que ZV < DV, on aura PV < BV. Donc le point B est extérieur à la sphère YN.

On prouvera, par un raisonnement pareil, que tous les points de la sphère enveloppante sont extérieurs, sauf le point Q. Donc la sphère OTS y est tangente à la sphère YN. c. q. f. d.

La démonstration sera la même et aussi facile pour les contacts intérieurs et dans tous les cas.

Lemme IV. — Soient le plan AC {fig- Go) et la sphère DGF, dont le centre est 0; par le centre 0, je mène FODB perpendiculaire au plan, puis, par le point F, une droite quelconque coupant la sphère en G et le plan en A. Je dis que AF.FG = BF.FD.

En effet, coupons la sphère et le plan donné suivant le plan du triangle ABF; soient, comme intersections, le cercle GFD sur la sphère, la droite ABC dans le plan. FB, perpendiculaire au plan AC, le sera à la droite AC. On a donc, dans un même plan, le cercle DGF et la droite AC, avec FDB passant par le centre du cercle et perpendicu-

[01] CONTACTS SPIIÉRIQUES. (îl

laire à AC. Si l'on joint GD, les angles en G, B sont droits; clone le <[uadrilatèrc A13DG est inscriptible.

Fig

Donc AF.FG = BF.FD, et la môme démonstration peut se faire pour toute autre section de la sphère.

Lemme V. — Soient le plan ABD (Jig. Gi) et la sphère EGF de centre 0; par ce centre 0, je fais passer la droite FOEC perpendi-

culaire au plan, et, dans un autre plan quelconque, je mène la droite FGHI. Soit IF.FH = CF.FE. Si, par les points I, H, je décris une sphère qui touche le plan AG, elle sera également tangente à la sphère EGF.

Imaginons construite la sphère IHB, passant par les points I, H, et tangente en B au plan AC; je dis que les sphères EGF, IHB sont tangentes.

Je joins FB; soit CF.FE = BF.FN; d'après le lemme qui précède, le point N sera sur la surface de la sphère EGF. Mais, par construction.

CF.FE = IF.FH; donc IF.FII = BF.FN. Donc le point N est sur la surface de la sphère IBH.

Il faut maintenant prouver que les sphères EGF, IBH sont tangentes en N, ce qui est facile. Par le point F et un point quelconque de la sphère EGF, je mène FR qui rencontre la sphère IBH en M et en P, et le plan AC en K. D'après le lemme précédent,

KF.Fi; — CF. l'E = IF.FH (par construclion) = I»F.FM.

Mais si KF.FR= PF.FM, comme KF > FP (la sphère IBH étant tangente en B au plan AC), FR< FM; donc le point R est extérieur ;i la sphère IBH. Il en sera de môme pour tout autre point de la sphère EGF dans un plan quelconque des deux cotés du point N. Donc les sphères EGF, IBH sont tangentes en N.

(]es lenimes quoique faciles sont très beaux, surtout III et V. Dans le lemme III, en effet, on a une infinité de sphères tangentes à la sphi-re XM et passant par les points T, S, mais il est prouvé que toutes ces sphères en nombre infini sont tangentes à la sphère YN. Dans le lemme V, pu adc même une infinité de sphères passant par les points I, H et tangentes au plan AC, et toutes ces sphères en nombre infini louchent la sphère EGF.

("cci posé, il est facile de résoudre les autres problèmes.

Prodlèhe VIII.

litant donnés deux points, un plan cl une sphère, trouver une sphère passant par les points donnés et tangente au plan donné et à la sphère donnée.

Soient donnés le plan ABC {fig- G2), la sphère DFE, et les points H. ÎM. Par le centre 0 de la sphère donnée, j'abaisse sur le plan donné ABC la perpendiculaire EODB; je joins HE, et je pose BE.ED=HE.EG. Le point G sera donné.

Etant donnés trois points H, G, M et un plan, on cherchera (problème II) une sphère passant par les trois points donnés et tangente au plan donné. Elle résoudra le problème.

[(;«] CONTACTS SriIÉlUQUES. g:{

Kilo passe en effet par les deux points donnés H, JM, et est tangente au plan ABC par construction et à la sphère DFE d'après le lemme V;

en cHrl, puisque HE.EG = BE.ED, toute sphère passant par les deux poinis II et (j et tangente au plan ABC touchera aussi la sphère DEK.

l'iiouLiiMi; I\.

ElaiU donnes deux points cl deux sphères, trouver une sphère passant par les deux points donnés et tangente aux sphères données.

Fis. 03.

Soient données les deux sphères AB, DE {Jlg. G3) et les deux

Gh.

points H, M. Jo mène AF par les centres des sphères données, et je pose

— TTn = FI?; le point F sera donné; soit encore NF.FA = HF.FG, le

))(tint G sera donné.

Etant donnés trois points M, G, H et une sphère DN, on cherchera (problème III) une sphère passant par les trois points donnés et tangente à la sphère donnée DN; elle touchera aussi la sphère AB, d'après le lemme III, et ainsi le problème sera résolu.

Problèmr X.

Ela/U donnés un point, deu-x plans cl une sphère, tromper une sphère passant par le point donné et tangente à la sphère et aux deux plans donnés.

Soient donnés les deux plans AB, BU {fig. 64), la sphère EGF et le point H. Du point 0, centre de la sphère donnée, j'abaisse sur un des

deux plans donnés la perpendiculaire CEOF, et je pose CF.FE=1IF.FI. Les deux points II, I étant donnés avec les deux plans AB, BD, je (dierche (problème VII) une sphère passant par les deux points donnés et tangente aux deux plans donnés; elle touchera aussi la sphère (lemme V) et le problème sera résolu.

[68] CONTACTS SPIIERIQUE.S. 65

Problème XI.

Etant donnés un point, un plan, el deux sphères, tromper une sphère passant par le point donné, et tangente au plan donné ainsi qu'aux deux sphères données.

Un raisonnement semblable aux précédents ramènera la question au problème VIII, où l'on donne deux points, un plan et une sphère, et cela par le moyen du lemme V. On peut aussi se servir du lemme III pour ramener de même la question à ce problème VIII, mais par une autre construction.

Problème XII.

Etant donnés un point el trois sphères, trouver une sphère qui passe par le point donné et louche les sphères données.

Je ne fais pas non plus la figure; car le lemme III ramène immédiatement la question au problème IX où l'on donne deux points et deux sphères.

Problème XIII.

Etant donnés deux plans et deux sphères, trouver une sphère qui touche les plans donnés et les sphères données.

Supposons le problème résolu. Si nous imaginons, concentrique à la surface sphériquc trouvée, une autre surface sphérique parallèle à une distance égale au rayon de la plus petite des sphères données, cette nouvelle surface sphérique sera tangente à des plans distants des donnés d'un intervalle égal à ce rayon de la plus petite sphère, et tangents également ii une sphère concentrique à la plus grande et dont le rayon différera de celui de la plus grande du rayon de la plus petite.

Cette dernière sphère est donc donnée, de môme que les plans menés parallèlement aux donnés à une distance égale au rayon de la moindre sphère. Enfin la nouvelle surface sphérique passe par le centre de la moindre des sphères données, centre qui est donné.

Fermât. — MI. 9

Ainsi, par co iiirmo arlitii-r (jiic luuis avons ilrjii oniployo dans le \\vo- Moiuc' \\, la i|ni\stioii ost ranionco au jirol'lt'nu' X : Klant iIimiiu's un |)oint. doux plans et une sphi'rr. trcuivor olc.

PROBLtMK \1\ .

Etant donnes ttvts sp/téres et un plan, tramer une sphère tangente aux sphères et au phin donne.

Par lo inonii' nioviMi (|ut' dans \c jirolili'nir \ 1 l'I dans 1(< piTcrtlont. on ramènera la question au problt'MU' M : iJaiil d.uuu' un poml. un plan et doux sphoros. eti-.

Problème \\'.

Etant données quatre sphères, trouver une sphère qui leur soit la/igente.

Supposons le probliMiio résolu. Par la nicthode (|u'a eniplovin' A[iollonius Gallus pour ramoner le problème des trois cercles à celui ilnn point et de deux eercles. méthode que nous avons déjà employée aussi dans les problèmes précédents, nous ramènerons ce bel et célèbre problème au problème XII. où l'on donne trois sphères et un point.

Ainsi nous avons achevé entièrement le travail proposé, et brillamment complété Apollonius Gallus; toutefois, pour ne pas allona;er indéfiniment ce traité des contacts sphériques, nous avons négligé les cas divers, les limitations et les menus détails.

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES