III. lE ED. ., x ,, • DE DE. IF „ HI.IE DE. IF

ÂGÏÏF = AC (•••''PPO'-t donne). Mais ^ = j^^^.- Donc ^^, = ^^^ •

Donc DE.IF = HI.IE.

Mais j'ai prouvé que le triangle AFC est donné d'espèce; la base AC est donnée de grandeur; donc AF est donnée, donc son double HE.

Aux rectangles égaux DE. IF, HI.IE, ajoutons de part et d'autre

[7î, 73] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 69

DE. IH. On aura DE. FH = DI . III. Mais, DE, FH étant données, DE. FH le sera; donc DI.IH; et ce produit appliqué sur la droite DH donnée de grandeur est en défaut d'une figure carrée ( ' ) ; donc IH est donnée, et par différence IF. Mais F est donné de position, donc le point I et tout le triangle AlC. Il est facile de remonter de l'analyse à la synthèse.

Pour dissiper tous les doutes, il est aisé de prouver que le triangle cherché est semblable au trouvé AIC de la seconde figure {fig. 66)

(ce triangle peut au reste avoir son sommet des deux côtés du point F, à égale distance de part et d'autre du point F; il sera le même d'espèce et de grandeur, la position seule sera différente). Si le triangle cherché n'est pas semblable au trouvé, la base restant la même, son sommet tombera entre les points F, I, ou entre les points I, A (le coté n'importe pas, car du coté FC on peut faire la môme démonstration avec le second triangle AIC.)

Soit d'abord le sommet entre A et I, et supposons, s'il est possible, le triangle cherché semblable au triangle AMC. Je joins FM, et j'abaisse

la perpendiculaire FP ; le rapport vj-p sera donné par hypothèse et par conséquent égal a T|T que nous avons prouve être égal au rapport donné; ce qui est absurde.

(•) C'est-h-dire que 01.111 = DH.ni-IIP.

En effet, dans les triangles rectangles FMP, FIK, M = I, donc ces

triangles FIK, FMP sont semblables; mais FM>FI, donc MF > IK.