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Voici la construction porismatique d'Euclide qui représente la solution la plus générale du problème.

Soit pris quelconque le point 0; je joins AO qui coupe YBC en P, et, par 0, je mène OQ parallèle h ABD et rencontrant YBC en Q. .le mène également, parallèle à ABD, l'indéfinie PNM. Je joins QD (|ni

coupe PNM en N. Je dis que les deux points 0, N satisfont à la question, c'est-à-dire que si l'on prend n'importe où sur la droite YBC un point H, et qu'on joigne OH, NH, qui coupent la droite ABD aux points I, V, on aura dans tous les cas AI x DV = AB x BD.

PouiSME II. — Étant donné un cercle ABDC {/ig- 68) de diamètre AC, de centre M, trouver deux points E, N, tels que si l'on en mène, brisée sur un point quelconque D de la circonférence , une ligne EDN coupant le diamètre aux points Q, H, la somme des carrés de QD, DU soit au triangle QDH dans un rapport donné et que cette relation subsiste toujours généralement, quelle que soit la ligne brisée.

J'élève du centre M perpendiculairement au diamètre la droite MB.

Je pose -yvj- égal au rapport donné. En V, j'élève VE perpendiculaire

au diamètre et égale à VB; je prends MO = MV, et je mène ON égale et parallèle à VE. Je dis que les points cherchés sont les points E, N, c'està-dire que si l'on prend un point quelconque D de la circonférence, qu'on joigne ED, ND, qui coupent le diamètre aux points Q, H, on

aura dans tous les cas le rapport -^^ — ;— rnïTï égal au donne, savoir

' ' triangle QDII ^

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