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On ne propose pas seulement de trouver la démonstration de ce

porisme. Que les mathématiciens plus suhtils voient s'il n'y a pas en

dehors de E et de N deux autres points qui puissent satisfaire au pro-

bièmQ et s'il y a, comme dans le premier porisme, des solutions en

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nombre indétini. Si je n'ai pas de réponse, je ne dédaignerai pas de venir au secours de la Géométrie sur le point où elle se trouvera en défaut.

PORISMES D'EUCLIDE.

LFA'Il ïnr.OI'.lK r,i:.\(H'VF.LKF, F.T IT.KSEMKE AlIX OFOMliïUKS MOUFJINKS SOLS FOKJIF l)'lNTr.01)Ur.TI0N.

Au commencement de son Livre Vil, Pap[tus a énuniéré les Livres des géomètres anciens qui faisaient partie de l'ensemble analytique. Tous ces Livres sont perdus par l'eflet du temps, sauf le seul Livre d'Euclidc sur les Données et les (|uatre premiers des Conù/ues d'Apollonius; aussi les géomètres modernes ont-ils eu à faire de t'rands efforts pour réparer tant soit peu la perte d'Ouvrages, dont l'âge destructeur tendait à al)olir jusqu'à la mémoire. Avant tous, François Viètc, ce génie si subtil qu'on ne louera jamais assez, a heureusement restitué les Livres d'Apollonius Sur les contacts dans un Livre unique qu'il a intitulé 1' « Apollonius Gallus ». Son exemple a excité Marino Ghetaldi et Willebrord Snellius à aborder des entreprises analogues, dans lesquelles ils ont assez réussi pour (jue, grâce à eux, nous ne regrettions plus guè're les Livres d'Apollonius De la section en rapport, De la section en produit. De la section déterminée. Des eo/nx-rgences. Suivaient les Lieux plans, les Lieux solides et les Lieux en surface. Ces matières ont été traitées ii leur tour par des géomètres dont le nom n'est pas inconnu, et, quoique manuscrits et encore inédits, leurs travaux ne sont pas restés ignorés.

Mais il reste encore, vierge de toute tentative et comme désespérante, la théorie des Porismes d'Euclidc. Pappus a beau alfirmer (lue c'était « une ceuvre pleine d'art et de la [)lus grande utilité pour la solution des j)roblèmes les [)liis obscurs », les géomètres de l'âge écoulé ou du temps actuel en ont ignoré jusqu'au nom, ou n'oni pas

FERMAT. — Ml. 10

même soupçonné de (luoi il s'agissait. J'ai longtemps tâtonné dans de profondes ténèbres, cherchant en vain comment relever la Géométrie de ce côté, jusqu'à ce qu'enfin « une lumière éclatante a frappé mes yeux et a dissipé pour eux l'obscurité de la nuit ». .le ne veux pas cacher jalousement à la postérité un spécimen de ma découverte à la fois ancienne et nouvelle, 'alors que l'astre de Suède brille sur toutes les sciences et que nous déroberions en vain comme des mysti'res les secrets des Mathématiques; il n'est en effet rien qui puisse échapper au clairvoyant génie de cette reine incomparable, et il ne nous est pas permis de cacher une théorie qui, nous pouvons à peine en douter, serait découverte au premier signe venu d'elle, comme inspiration ou comme ordre.

Pour jeter donc la lumière sur toute cette (juestion des porismcs, j'ai choisi un certain nombre des plus remarquables propositions porismatiques, et je les présente avec confiance à l'attention et à l'examen des géomètres, pour bien faire connaître ce qu'est un |)orisme et quel en est surtout l'usage.

POHISME 1.

Soient deux droites ON, OC i^fig- G9) formant un angle au point 0 e( données de position. Soient donnés également les points A et \\.

Fig. 6ç).

[)e ces points A, B, on mène les droites RE, AF, parallèles à 0(j et rencontrant NO prolongée aux points ]•], F. Ou joint AE qui rencontre ('0 prolongée en D, et on joint aussi FB qui rencontre en C celle même

[79] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 75

droite CO. Si maintenant d'im jxiint (|iielcon(|iie de la droite ON, Vpar exemple, on mène les droites AV, IJV, soit S le point de rencontre de AV et de OC, R celui de BV et de la même droite OC, on aura toujours CR X DS = CO X DO, c'est-à-dire une aire donnée.

PORISMIÎ II.

Soit une parabole quelconque NAB {Jig. 70) et un de ses diamètres quelconque BEO. Je prends sur la courhe deux points ([uelconques D

iMjr. -,"■

et N, desquels je mène des droites concourant en un autre point (|uel-

coiHjue de la courbe, soit en D. Ces droites AD, DN couperont le dia-

mèlre en des points tels que K, O ou G, Q. Les abscisses sur un même

diamètre seront toujours dans un même rapport, c'est-à-dire (|u'on

aura constamment

Oli