SOI

CCS points une ligne NBM hriséo sur lo cercle et qui coupe le diamètre en des points 0, V. Je dis que lo rapport . ■^". .^ est donné; ou bien que si l'on mène une autre ligne brisée NCM, coupant le diamètre aux

, n c , AO.DV AR.DS

points n, b, on aura touiours -, ., ,.,. = .^ ...t-

II est facile d'étendre cette proposition aux ellipses, aux hyperboles et aux sections opposées.

PORISME IV.

Soit le cercle ICI! (Jig. 'ji), son diamètre IDH donné, son centre D, son rayon CD normal au diamètre. Soient sur le prolongement du dia-

mètre deux points B, A donnés de telle sorte que AI = BH. Soit posé

y-r = jT- et DR = DL ; les points R et L seront donnés. Qu'on joigne

CA et qu'on prenne, égale à cette droite, AF perpendiculaire au diamètre. Soit enfin BG égale et parallèle à AF, et des points F, G-, menée brisée sur le cercle une droite FEG qui coupe le diamètre aux points M et N. Je dis que la somme RM--t- LN- est toujours égale à une même aire donnée.

rsi] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 77

En second lieu, avec les mômes positions, si l'on joint CL, que l'on prenne, égale h cette droite, LP perpendiculaire au diamètre, et qu'on tni'ne RZ parallèle et égale à LP; si des deux points Z et P on mène brisée sur la circonférence une ligne comme PVZ, coupant le diami'lre aux points K, T, la somme AT-4- BK- sera toujours égale à une autre aire donnée.

PORISJIE V.

Soit le cercle RAC (yîg-. 78), son diamètre RDC donné, son centre D, son rayon DA normal au diamètre. Soient pris arbitrairement sur ir

diamètre, mais à égale distance du centre D, deux points Z, B. .loignons AZ; menons, égale à cette droite, ZM perpendiculaire au diamètre et BO égale et parallèle à ZM. Qu'on mène, brisée sur la circonférence, une ligne quelconque MHO, coupant le diamètre aux poials E.

N; le rapport ^rian^lc EHN ^^''"^ ^"""'^ ^^ ^^^^ ^" rapport j^-

Par l'énoncé de ces propositions, dont personne ne niera l'élégance et la beauté, on peut facilement reconnaître la nature même des porismes. Il est évident en effet qu'on peut, ainsi que le dit Pappus, les énoncer comme théorèmes ou comme problèmes. Je les ai énoncées comme théorèmes; mais rien n'empêche de les transformer en problèmes. Par exemple le porisme V peut être conçu comme suit :

Etant donné un cercle RAC de diamèlre RC, trouver aeux points ftl et 0, tels que si de ces points on mène, brisée sur la circonférence, une

ligne quelconque MHO, on ait. toujours comme donné le rapport au triansle EHN de la somme des carrés des abscisses EH, HN.

La construction résulte du théorème qui précède : si en efl'ct on

])rcnd dans le rapport donné j7^> tout le reste s'ensuit. De la même

manière, on peut, pour tous les autres porismes sans exception, transformer facilement les théorèmes en prohlèmes.

D'autre part, Pappus indique qu'au sens des géomètres postérieurs il Euclidc : « le porisme est en défaut, en ce qui concerne l'hypothèse, par rapport au théorème de lieu ». Gela révèle entièrement la nature spéciale du porisme et c'a été presque sans autre indice que celui fourni par ces mots que nous avons pénétré les secrets de cette matière.

Lorsque nous cherchons un lieu, nous nous proposons de trouver une ligne droite ou une courhe qui nous est inconnue en tant seulement que nous avons à déterminer le lieu qu'occupe la ligne à trouver; mais quand nous partons d'un lieu supposé donné et connu pour en trouver un autre, ce nouveau lieu est appelé porisme par Euclidc, et c'est pourquoi Pappus a ajouté avec grande raison que les lieux eux-mêmes sont une espèce de porismes et qu'on leur donne ce nom.

Comme seul exemple, nous allons appliquer notre définition à la figure du porisme V. La droite RC étant donnée, si l'on cherche une courhe quelconque telle que RAB dont la propriété soit qu'en ahaissant d'un quelconque de ses points A la perpendiculaire AD, on ait AD- = RD X DC, nous trouverons que la courbe RAC est une circonférence de cercle. Mais si, ce lieu étant déjà donné, nous partons de là pour en trouver un autre, par exemple, le problème du porisme V, ce nouveau lieu sera appelé /jomwe, comme tous les autres en nombre infini que la sagacité d'un analyste exercé peut imaginer et déduire de celui qui est déjà connu.

Comme nous l'avons déjà dit, les lieux eux-mêmes sont des porismes ; il faut d'ailleurs corriger d'après le texte grec l'erreur du traducteur

[83, 8i] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 79

de Pappus u cet endroit où il dit que : « L'Ouvrage des Porismes est très utile pour les résolutions des problèmes les plus obscurs et de leurs genres qui ne comprennent pas cette nature qui en fournit la multitude ■». Ces derniers mots, pour ainsi dire, n'offrent aucun sens; il faut recourir à Pappus lui-même dont le texte est le suivant, d'après les manuscrits :

nopî(7[/.aTa ÈaTi ■KoXkolq àiOpoia^a. cpiXoTS/voiaTov eîç rr^v àvâXua'.v Tûv à[jt.j3piÔ£aT£pwv 7rpopXy]|j.àTOiv xal Tàiv y^voiv àuïpîXYjUTOv ty)? ^uaecoç -ap£yo(X£VY]ç irXfjO&ç.

Pappus dit que les porismes servent à l'analyse des problèmes plus obscurs et des genres, c'est-à-dire des problèmes généraux. Il résulte on effet de ce que nous avons dit que les propositions des porismes sont générales au plus haut degré. Puis il ajoute : « dont la nature fournit une multitude à peine compréhensible à l'esprit », mots par lesquels il indique ces solutions en nombre inlini du même problème, (|ui tiennent presque du miracle.

A notre invention de ces théorèmes nu problèmes, s'ajoute une méthode particulière, dérivant de la pure Analyse, et grâce ii laquelle, avec les cinq porismes précédents, nous en avons trouvé, construit el démontré beaucoup d'autres.

Si les savants accueillent avec faveur ce peu que nous donnons à litre seulement d'introduction et de prodrome d'une œuvre plus approfondie, nous pourrons un jour restituer la totalité des trois Livres des porismes, et, bien plus, pousser plus loin qu'Euclide luimême et découvrir des porismes vraiment étonnants et qui jusqu'à présent sont inconnus, sur les sections coniques et sur d'autres courbes quelconques.