CM' MA

d après la nature de la parabole, tt^ = jrj-r-> si I on suppose que A est

le sommet do la parabole ou l'extrémité du diamètre. Le rapport -^r-r

est ainsi donné, ou, dwidendo, le rapport ^rr^; mais MN est donnée,

avec les points ^I et N, donc NA, donc le point A. Si d'ailleurs on pos(!

;r,-ïY = -y-> Z coté droit de la parabole sera donné, les autres droites

i'étant. Ainsi, on a donnés : le sommet A, le coté droitZ, le diamètre AF d(! position, l'angle des ordonnées. Donc la parabole est donnée de position (Apollonius, I, Sa).

Cela posé, il est facile de construire le premier cas {fig. 75). Soient donnés les quatre points B, C, D, F; si on les joint par les droites BC, CF, FD, DB, ou bien aucune ne sera parallèle à l'opposée, ou bien, comme dans ce cas, on aura par exemple BC parallèle à DF.

Prenons les milieux I, E de ces deux droites et supposons le problème résolu; si on joint lE, qui divise par moitié deux parallèles, ce sera un diamètre de la parabole. Mais 1, E sont donnés, donc lE l'est de position, ainsi que l'angle DEI. On a donc donnés : le diamètre lE

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de position, l'angle des ordonnées et deux points B, D de la parabole; donc la parabole DBACF est donnée de position.

Le second cas est plus difficile : c'est celui où aucune des droites joignant deux des points donnés n'est parallèle a une autre.

Soient donnés (Jif^- 7G) quatre points X, N, D, R, en sorte que si l'on joint XR, RD, DN, NX, aucune no soit parallèle à l'opposée. Sup-

Fig. -,G.

posons le problème résolu et tracée la parabole XANDBR satisfaisant il la condition proposée. Soient V le point de rencontre de XN, RU prolongées, IM, C les milieux de XN, RD. Menez par ces milieux les diamètres MA, CB qui rencontrent la parabole aux points A, B, et par ces derniers lAS, SB parallèles à XV, VR et se rencontrant en S. Je joins AB, j'en prends le milieu en P et je joins SP.

l'EltMVT. - m. II

Cette construction faite, il est clair que lAS, menée par le sommet du diamètre MA parallèlement à l'ordonnée XN, est tangente à la parabole en A. On prouvera de même que SB est tangente à la parabole

XV VN ASen B. Donc (Apoll., III, 17) irrryn ^ W\l-' ^^'^'^ '*^^ quatre points X,

AT .^ n •. . I 1 . XV.VN , , , , AS^ ,

N, D, R étant donnes, le rapport ï7y-yT) est donne, donc ^^^r,' donc

^-jj- Mais ASB est donné, comme égal, à cause des parallèles, au

donné XVR. Ainsi, dans le triangle ASB, l'angle au sommet S est donné avec le rapport des côtés ^~■, donc ce triangle est donné d'es-

pècc, donc SAB et le rapport r-y, donc, puisque AP = ^AB, le rapport ^., est donné. Ainsi dans le triangle SAP, l'angle en A est donné avec le rapport des cotés ~; donc le triangle est donné d'espèce.

donc PSA est donné.

Ceci posé, SP, qui passe par le milieu de la corde AB joignant les points de contact des tangentes, sera un diamètre de la parabole (Apoll., II, 29). Mais, dans la parabole, tous les diamètres sont parallèles, donc le diamètre MA est parallèle à SP, donc lAM = ASP. Mais

ASP est prouvé donné; donc lAM, et son alterne-interne NMA. Mais M, milieu de NX, donnée de grandeur et de position, est donné. Donc MA, diamètre, est donné de position avec l'angle des ordonnées AMN et les deux points N, D de la parabole. Donc, d'après le lemme, la parabole est donnée de position, et il est facile de remonter de l'analyse à la synthèse.

11 est clair que, dans ce dernier cas, deux paraboles satisfont au problème, car les droites DN, XR, supposées non parallèles, se rencontrent, et alors, par le même raisonnement, on peut tracer une parabole qui résout également le problème.

FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES