EO.OD , , . , , , FO.OC
le rapport ., est donne ; donc le rapport ., sera donne. Mais
e rapport tt^ est donné, puisque le triangle OIN est donné d'espèce;
lonc le rapport .^ ou ■■..^ sera donné (FM étant égal à ON). Si on partage AQ en U de telle façon qu'en menant UR paralit-h;
■ Mn I . UR= -, - 1 1 - l'O.OC . -.ri
a Mii, le rapport jtv,-^ soit ogal au donne — i.Tr," (co qui est tacile,
puisque l'angle MRU est donné), et si l'on fait passer par le point U une section conique ayant AQ pour diamètre et tangente en M, B aux droites MA, AB (ce qui est très facile et donnera d'ailleurs, suivant les différentes positions du point U, soit une parabole, soit une hyperbole, soit une ellipse; je n'ajoute pas ce qui serait superflu, surtout pour vous); je dis que la section conique ainsi décrite passera par le point 0.
Soit en effet P le point oii elle passera de l'autre côté. La droite UR, parallèle à l'ordonnée MB, sera tangente à la conique; donc, si celle-ci
passe par le point (J, on aura — pv.— = ,rif, (Apoll., III, b). Mais, par construction, ~ = '^^^'^ Donc PF.FO = FO.OC ; donc FO = PC ( ' ).
Or il en est ainsi; car, Q étant le milieu de MB, on a FX = XC; d'autre part, dans la conique, OX = XP; donc, par différence, FO = PC.
Il est facile de remonter de l'analyse à la synthèse, par une démonstration conduisant à l'impossible.
f ' ) La conclusion devrait être PF — OC, ce qui revient au môme en retranciiant OP fie pari et d'autre.
INTRODUCTION
Que les anciens aient longuement traité des lieux, on ne peut en douter; nous le savons par Pappus, qui, au commencement du Livre VII, témoigne qu'Apollonius avait écrit sur les lieux plans, et Aristée sur les lieux solides. Mais, si nous ne nous trompons pas, la recherche des lieux ne leur était point sulfisamment aisée. Nous le conjecturons de ce fait que, pour nombre de lieux, ils n'ont point donné un énoncé assez général, ainsi qu'on le verra plus loin.
Nous soumettons donc cette théorie ii une analyse qui lui est propre et particulière, et qui ouvre la voie générale pour la recherche des lieux.
Toutes les fois que dans une équation finale on trouve deux quantités inconnues, on a un lieu, l'extrémité de l'une d'elles décrivant une ligne droite ou courbe. La ligne droite est simple et unique dans son genre; les espèces des courbes sont en nombre indéfini, cercle, parabole, hyperbole, ellipse, etc.
Toutes les fois que l'extrémité de la quantité inconnue qui décrit le lieu suit une ligne droite ou circulaire, le lieu est dit plan; si elle décrit une parabole, une hyperbole ou une ellipse, le lieu est dit solide; pour d'autres courbes, on l'appelle lieu de ligne. Nous n'ajouterons rien sur ce dernier cas, car la connaissance du lieu de ligne se déduit très facilement, au moyen de réductions, de l'étude des lieux plans et solides.
II est commode, pour établir les équations, de prendre les deux quantités inconnues sous un angle donné, que d'ordinaire nous supposerons droit, et de se donner la position et une extrémité de l'une d'elles; pourvu qu'aucune des deux quantités inconnues ne dépasse le carré, le lieu sera plan ou solide, ainsi qu'on le verra clairement ci-après.
Soit NZM ifig- 7B) une droite donnée de position, dont on donne le
point N. Qu'on égale NZ à la quantité inconnue «, et la droite ZI
(menée sous l'angle donné NZ!) à l'autre quantité inconnue e.
Soit
da -= be.
Le point I sera une droite donnée de position.
■ Donc le rapport -
En efTet, on aura
, — Donc le rapport - est donné, ainsi que
l'angle en Z. Donc le triangle NIZ est donné d'espèce, donc l'angle INZ. Mais le point N est donné, ainsi que la position de la droite NZ. Donc NI sera donnée de position. La synthèse est facile.
On ramènera à cette équation toutes celles dont les termes sont soit donnés, soit formés par les inconnues a et e, multipliées par des droites données ou bien prises simplement.
z" -da — be.
Soit posé z" = dr. On aura -r = "^ ■ ' d e
Soit pris MN — r; le point M sera donné et l'on aura MZ = /•— rt.
MZ
Le rapport y- sera donc donné, ainsi que l'angle en Z. Donc le triangle IZM sera donné d'espèce, et en joignant MI, on conclura que cette droite est donnée de position. Ainsi le point I sera sur une droite donnée de position, et la nniênie conclusion se tirera sans difiiculté pour toute équation qui aura des termes en a ou e seulement.
C'est là la première et plus simple équation de lieu, qui servira à trouver tous les lieux sur une ligne droite; par exemple la proposition 7 du Livre I d'Apollonius Des lieux plans, qui pourra dès lors s'énoncer et se construire plus généralement.
Cette équation renferme aussi la très belle proposition suivante, que nous avons découverte par son moyen :
'c Soient, en nombre quelconque, des droites données déposition, auxquelles on mène d'un même point des droites sous des angles donnés; si la somme des produits des droites ainsi menées par des données est égale à une aire donnée, le point d'où on les mène sera sur une droite donnée de position. »
Nous omettons une infinité d'autres propositions, qui pourraient, ii bon droit, être opposées à celles d'Apollonius.
Le second degré des équations de cette sorte se présente si ae = s", auquel cas le point I est sur une hyperbole.
Menez NR (fig. 79) parallèle à ZI; prenez sur NZ un point quel-
conque, soit ]\I, par lequel vous mènerez MO parallèle à ZI. Con-
struisez le rectangle NMO égal à l'aire z". Par le point 0, entre les asymptotes NR, NM, décrivez une hyperbole; elle sera donnée de position et passera par le point 1, puisqu'on suppose ae, c'est-à-dire le rectangle NZI, équivalent au rectangle NMO.
Ou ramènera à cette équation toutes celles dont les termes sont, soit donnés, soit en a, en c ou en ac.
Ainsi soit d" -\- ae = ra -+- se.
D'après les règles de l'art, on aura ra -+- se — ae - d". Formez un rectangle de deux côtés, qui donnent les termes : ra -h se — ae. Ces deux côtés seront a - s et r - c, et leur rectangle ra -h se — ae ^ rs.
Si maintenant de d" vous retranchez rs, le rectangle
(« — .0(/- — e) —cP'— rs.
Prenez NO {fig. 8o) égal à s, et ND, parallèle à ZI, égale à /■. Par le
Fig. Ho.
îl
point D, menez DP parallèle à NM; par le point 0, OV parallèle à ND; prolongez ZI jusqu'en P.
Puis(|ue NO=.y et NZ - a, on a a ~ s =^07. — S?. De même, puisque ND = 7.V — r alZX ^e, on a r — e = PI. Le rectangle PV x Pi est donc égal à l'aire donnée d'' — rs; le point I est donc sur une hyperbole ayant PV, VO pour asymptotes.
Si, en ell'et, prenant un point quelconque X et menant la parallèle XY, on construit le rectangle N\Y = d"—rs, et que par le point Y, entre les asymptotes PV, VO, on décrive une hyperbole, elle passera par le point I. L'analyse et la construction seront faciles dans tous les cas.
Le degré suivant des équations de lieu se présente si l'on a «-" — cou si a^ est à c^ dans un rapport donné, ou encore si a^ + ae est à e^ dans un rapport donné. Enfin ce cas comprend toutes les équations dont les termes vont jusqu'au carré, et sont on a-, c- ou «c.
Dans tous ces cas, le point I est sur une ligne droite, ce qui est très facile à démontrer.
Si le rapport y,, " ' - est donné (y?»-. 8i), qu'on mène une
Zl^
Fig. Si
parallèle quelconque OR, le rapport "\ -' sera le même,
comme il est très facile de le prouver. Le point I sera donc sur une droite donnée de position.
Il on sera de même pour toutes les équations dont tous les termes seront affectés des carrés des inconnues ou de leur rectangle; il est inutile de détailler plus exactement les cas particuliers.
Si aux carués des inconnues avec ou sans leur rectangle s'ajoutent des termes soit donnés absolument, soit produits d'une droite donnée par l'une des inconnues, la construction est plus difficile. Nous la ferons brièvement dans les différents cas, avec la démonstration.
Si a- = de, le point 1 est sur une parabole.
Soit (yfig- 82) NP parallèle à ZI; avec NP pour diamètre, décrivez la parabole dont le paramètre est la droite donnée d et dont les ordonnées sont parallèles à NZ. Le point I sera sur cette parabole, qui est donnée de position.
En effet, d'après la construction, le rectangle c/xNP — PI-, ou autrement ^/ x IZ = NZ^, et par suite de = a-.
On ramènera facilement à cette équation toutes celles où tû se ren-
FLnu*T. - 111. !?■
contre avec des termes produits de c par des données, ou bien é- avec dos termes produits de a par dos données; il on sera de même, quand
FiR. S2.
'^■^-""'''^^ ri
l'équation comprendrait en outre dos termes absolument donnés.
Soit
e-=: da.
Dans la figure précédente, avec N pour sommet, NZ pour diainôtro,
décrivez la parabole dont le paramètre est d, ot dont les ordonnées
sont parallèles ii la droite NP. Elle satisfera à la question, comme cela
est évident.
Soit
h' — a"- -=. de ou, par conséquent, b'- — de ^= a'^ .
Divisez h- par d; soit b'- = dr. On aura donc
dr — de^a'- ou d(r — e)^=(7-.
On aura ainsi ramené cette équation ii la précédente en substituant /■ — e. à e.
Soit en elTet menée MN {fig. 83) parallèle à ZI et égale à r, et par
Fi- 83.
le point M, MO parallèle à NZ. Le point 31 est donné, ainsi que la position de la droite MO. D'après cette construction, 01 = /• — r. Doncf/xOI=^NZ- = MO-.
La parabole décrite à partir du sommet M, sur le diamètre MN, avec
d comme paramètre et des ordonnées parallèles à NZ, satisfera à la question, comme il est clair d'après la construction.
Si h- -\- a"- ^^ de, on aura de — h-^=ar, etc., comme ci-dessus. On construira de même toutes les équations scmblablement composées on a^ et e.
Mais d^ se trouve souvent avec e- et des termes absolument donnés.
Soit Ir — à- = e-.
Le point I sera sur un cercle donné de position, si l'angle NZI est droit.
Soit pris NM {fig- 84 ) égal ii h. Le cercle décrit de N comme centre, avec NM comme rayon, satisfera à la question, c'est-à-dire que quel
Fig. 84.
que soit le point I pris sur sa circonférence, ZF(oue-) sera égal à
NM-^ou/-»^) — NZ'(ou fl-), comme il est clair.
On ramènera \\ cette équation toutes celles qui ont des termes en à-,
é-, et en a ou e multipliés par des données, pourvu que l'angle NZI
soit droit, et en outre que le coelficient de ar soit égal à celui de e'-.
Soit
1)"- — 'ida — a- rr: e- -I- 2 re.
Ajoutez de part et d'autre r' pour substituer <? + /• à c, vous aurez
/•- -t- i- — ida — a- = e- + r'^ + 2re. A r" -H h'- ajoutez d-, pour substituer d -h ah a, et soit
On aura
p- — d- — 2da — a-^^r'-T-ù- — 2da — a-.
car par construction
Si maintenant, au lieu de a-\-d, on prend a, et si, au lieu de e -t- r, on prend e, on aura
p- — fl'-T= C'-.
L'équation sera ramenée à la précédente.
On y ramènera par un raisonnement semblable toutes les équations pareilles. Grâce à ce procédé, nous avons construit toutes les propositions du second Livre d'Apollonius Sur les lieux plans, et nous avons démontré que les six premières ont lieu pour des points quelconques, co qui est assez remarquable et était peut-être ignoré d'Apollonius.
jMais soit — :^ — dans un rapport donné, le point I sera sur une
ellipse.
Soit pris MN — b. Avec M comme sommet, NM comme diamètre, N comme centre, décrivez une ellipse dont les ordonnées soient parallèles à la droite ZI et telle que les carrés des ordonnées soient aux rectangles des segments du diamètre dans le rapport donné; le point I sera sur cette ellipse. Car N.M- — NZ- est égal au rectangle des segments du diamètre.
On ramènerai! cette équation toutes celles où a- se trouve dans un membre, opposé à e'-' dans l'autre, sous un signe contraire, et avec un coellicicnt différent. Car, si les coefficients sont identiques et l'angle droit, le lieu sera un cercle, comme nous l'avons dit. D'ailleurs, quoique les coelficients soient les mêmes, le lieu sera une ellipse, si l'angle n'est pas droit.
Si les équations comprennent en outre des termes produits de a ou e par des données, la réduction se fora néanmoins par l'artifice que nous avons déjà employé.
SoiT — -^ — dans un rapport donné, le point I est sur une hyperbole.
Mencz NO {fig. 85) parallèle à Zl ; soit ^^r— ^ dans le rapport donné. Le point R sera donné. Avec R comme sommet, RO comme diamètre,
Fig. 85
N comme centre, décrivez une hyperbole dont les ordonnées soient parallèles à NZ, et telles que la somme de RO- et du produit par RO du
diamètre total [MR] soit à 01- dans le rapport donné -tt--
MOx()R-)-i\K^
Par conséquent, componendo, en prenant MN ~ NR,
est dans le rapport donné i\laisMOxOR+NR
= NO- = 7A- = <^= et 01- -f- b' = NZ-' (ou a'- ) + />^ . - = -77^) et, convertendo, — -, — est le rapport donné.
Donc le point I est sur une hyperbole donnée de position.
Le même artifice que nous avons déjà employé ramènera à cette équation toutes celles où figurent a- et e'- avec des termes donnés, soit simplement, soit en outre avec des termes produits de a ou c par des données, et où ir se trouve dans l'autre membre que c\ mais sous le même signe. Car, si les signes étaient contraires, on conclurait à un cercle ou ii une ellipse.
L'équ.uion la plus difficile est celle où a'^ et c- figurent avec des termes en ae, et en outre des termes donnés, etc.
Soit i- — 2a- = 2ae -+- C".
Ajoutez de part et d'autre a- pour avoir a + e comme racine de l'un des membres :
lae ■
9!i- GÎUVUES DE FERMAT. [101,102]
ka -\- e substituons e, par exemple, et, d'après ce qui précède, soit le cercle MI {fig. 86) satisfaisant à la question : c'est-à-dire que
Soit VI = NZ .^ a. On aura ZV = e.
Mais dans cette question nous cherchons seulement le point V ou l'extrémité de la droite e. Il faut donc voir et montrer sur quelle ligne se trouve le point V.
Fijr. se.
Soit MR parallèle ii ZI et égale à MN. Joignez NR que IZ prolongée rencontre en 0. Puisque MN = MR, NZ = ZO. Mais NZ = VI; donc, par addition, VO = ZI. Donc MN- - NZ= = V0\ Mais le triangle NMR
est donné d'espèce; donc le rapport ^ry~ est donné, donc le rapport donc le rapport y,.., y,. • Mais nous avons prouve que
