NO
est donné. Mais les
OV- = MN--NZ=; donc le rapport
points N et R sont donnés, ainsi que l'angle NOZ. Donc le point V, d'après ce qui a été démontré précédemment, est sur une ellipse.
Par un procédé analogue, on ramènera aux cas précédents tous les autres dans lesquels des termes en ae se rencontrent avec des termes les uns donnés, les autres en à- et <?% ou encore produits de a et de c par des données; la discussion de ces difl'érents cas est très facile, et
la question se résoudra toujours par le moyen d'un triangle connu d'espèc.(!.
Nous avons donc embrassé dans un exposé bref et lucide tout ce que les anciens ont laissé inexpliqué sur les lieux plans et solides ; par suite on reconnaîtra immédiatement quels lieux donnent tous les divers cas de la dernière proposition du Livre I d'Apollonius Des lieux plans, et on découvrira en général, sans grande difficulté, tout ce qui regarde cette matière.
Comme couronnement de ce Traité, nous y ajouterons une très belle proposition, dont la facilité apparaîtra aussitôt.
Etant données de position des droites en nombre quelconque, si d'un même point on mène à chacune d'elles une droite sous un angle donné, et que la somme des carrés des droites menées soit égale à une aire donnée, le point est sur un lieu solide donné de position.
Un seul exemple suffit à indiquer le procédé général de construction.
Soient donnés deux points N et M {fig- 87), et soit à trouver le lieu des points tels que si l'on mène les droites IN, IM, la somme de leurs carrés soit au triangle INiM dans un rapport donné.
Soit posé NM = b. Appelons c la droite ZI menée perpendiculairement, et a la distance NZ.
D'après les règles de l'art, — ^i ^"^^ ^^ rapport
donné.
En résolvant les positions d'après les règles exposées, la construction se fera comme suit.
Prenez en Z le milieu de NM; élevez en Z la perpendiculaire ZV;
soit dans le rapport donné -rrrr; sur VZ décrivez le demi-cercle VOZ, inscrivez ZO = ZM et joignez VO. De V comme centre avec VO pour rayon, décrivez le cercle OIR. Si d'un point quelconque R pris sur ce cercle, on mène RN, RM, je dis que RN-+ RM- est au triangle RNM dans le rapport donné.
Si cette découverte eût précédé notre restitution déjà ancienne-des deux Livres Des lieux plans, les constructions des théorèmes de lieux en eussent été rendues beaucoup plus élégantes; cependant nous ne regrettons pas cette production, quoique précoce et insuiïisamment mûrie. Il y a en eiïct pour la Science un certain intérêt à ne pas dérober à la postérité les travaux encore informes de l'esprit; l'ccuvre d'abord simple et grossière se fortifie et grandit par les nouvelles inventions. Il est même important pour l'étude de pouvoir contempler pleinement les progrès cachés de l'esprit et le développement spontané de l'art.
