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méthode, l'extrémité de e sera sur un cercle.

Ainsi la question est résolue par le tracé d'une parabole et d'un cercle.

(]ette méthode s'étend facilement à tous les cas, tant cubiques que biquadraliques. Il faut seulement prendre soin d'avoir dans un membre a', dans l'autre le reste des l(;rmes quelconques, à condition qu'il n'y on ait pas en «'. Mais par V expurgation de Viète on peut toujours, dans une équation biquadratique, faire disparaître le terme alTecté du cube; la méthode reste donc la mémo dans tous les cas.

Quant aux équations cubiques, la méthode de Vii'te en fait disparaître le terme affecté du carré; en sorte qu'(Mi multipliant tous les termes par a, on aura une équation biquadratique, où aucun terme ne sera affecté du cube; elle se résoudra donc par la méthode qui précède.

Il faut seulement prendre soin que, dans la seconde équation, on ait dans un membre a^, dans l'autre e-, sous des signes contraires, ce qui est toujours très facile.

Pour parcourir tous les cas, soit encore

Formez le carré de a- moins un carré quelconque donné, soit />-, vous aurez a'^ + b'' — 2a'- b'K Ajoutez, comme supplément aux deux membres de l'équation, b'' — 2a'-b'-, on aura

Pour faciliter la division, il faut, dans le second membre, prendre la différence entre 2b- et z", soit par exemple n-, et égaler chacun des deux membres à n^e"^, en sorte que l'on ait : d'un coté, a'- — b"^ = ne; de l'autre, -^ — a^ — ^^;- = e-.

[109,110] LIKUX PLANS ET SOLIDES. loi

Il faut remarquer ici qu'il faut avoir 2/'^> ;", autrement a- n'aurait pas le signe —, et, au lieu d'un cercle, nous trouverions une hyperbole. Mais le remède est facile. En effet, nous prenons h- arliilrairement, par suite rien n'est plus simple que de prendre son doiihle supérieur à z". D'ailleurs notre méthode des lieux établit (|u'on a toujours un cercle lorsque dans un des membres de l'équation se trouve un des carrés inconnus avec le signe 4-, et dans l'autre membre, l'autre carré inconnu avec le signe — .

Prenons, pour exemple de cette construction, l'invention des deux moyennes. On a a^ = h^d, d'où a'^^h^da. Ajoutez de |)art et d'antre //' — -lira-, il vient

a' -\- b' — ib-a-^ //'+ 6- da — 2 a' b'.

Soit liy- = /z-, et égalez chacun des deux membres à n-e^. . On aura d'un coté : a' — Ir = ne; l'extrémité de c est sur une parabole. De l'autre : 1 — « — a- = e-; l'extrémité de c sera sur un

cercle.

Celui qui aura étudié ce qui précède n'essayera pas de ramener aux probli'mes plans, c'est-à-dire de résoudre par les droites et le cercle les questions des moyennes proportionnelles, de la trisection de l'angle et autres semblables.

102 ŒUVRES DE FERMAT. [Ill]