INTRODUCTION AUX LIEUX EN SURFACE

A MON AMI M. i)F CARCAVI.

INnir couronner V Inlnxlitrlion aux lieux plans et solides, il reste ii traiter des lieux en surface. I.es anciens n'ont fait qu'indiquer ce sujet, mais n'ont pas enseigné de règles générales, ni même donné quelque exemple célèbre, à moins que ce ne soit enseveli depuis longtemps dans ces monuments de l'antiijue Géométrie où tant de précieuses découvertes ont été abandonnées sans défense aux insectes et souvent anéanties sans laisser aucune trace.

Cette tliéorie est cependant susceptible d'une méthode générale, comme le montrera cette courte dissertation; plus tard, si nous en avons le loisir, nous éclaircirons davantage chacune des découvertes géométriques (jue nous avons jusqu'ici fait brièvement connaître.

Les caractères que nous avons cherchés et montrés dans les lignes (îomme lieux peuvent être de même recherchés pour les surfaces pianos, sphériqucs, coniques, cylindriques ou pour celles des conoïdes et sphéroïdes (') quelconques, si l'on établit tout d'abord les lemmes constitutifs de chacun de ces lieux.

Posons donc le lemme suivant pour les lieux en surface plane :

1. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quelconques que l'on voudra, et que i intersection de celte surface et de ces

(') Uappeloiis qu'Arcliimcde avait appelé cDiioîdes les paraboloïdes elliptiques de révolution et les liypcrl)oloïdes de révolution (à deux nappes); splic'roldcs les ellipsoïdes de l'évolution.

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plans en nombre indéfini soil loujours une ligne droite, la surface en f/iicstion sera un plan.

Pour les lieux eu surface spliériquc :

2. Si une surface quelconque es/ coupée par autant de plans quelconques que l'on voudra, et que l'intersection de cette surface et de ces plans en nombre indéfini soit toujours un cercle, la surface en question sera une sjdicre.

Pour les lieux eu surface de sphéroïde :

;}. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quelconques que l'on voudra, et que l'intersection de celte surface et d' un plan sécant soit tantôt un cercle, tantôt une ellipse, mais jamais une autre ligne, la surface en question sera un sphéroïde.

Pour les lieux eu surface de couoide parabolique ou hyperbolique :

1 . Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quelconques que l'on voudra, et que l'intersection commune soit tantôt un cercle, tantôt une ellipse, tantôt une parabole ou une hyperbole, mais Jamais une autre ligne, la surface en question sera un conoïde parabolique ou hyperbolique.

Pour les lieux eu surface couiquc :

.'). Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quelco/tques que l'on voudra, et que l'intersection commune soit tantôt une ligne droite, tantôt un cercle, tantôt une ellipse, tantôt une parabole ou hyperbole, et jamais une autre ligne, la surface en question sera un cône.

Pour les lieux eu surface CYliudri(]ue :

(). Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quelconques que l'on voudra, et que l' intersection commune soit tantôt une droite, tantôt un cercle, tantôt une ellipse, mais jamais une autre ligne. la surface en question sera un cylindre.

lOi (KUVRES DE FERMAT. |1131

Mais il se présente très souvent des lieux pour lesquels les sections sont (les droites, des paraboles et des hyperboles et aucune autre lii^ne, comme le montrera bientôt l'analyse de la question. Il convient donc ou plutôt il est absolument nécessaire pour celte étude de constituer une nouvelle espèce de cylindres ayant pour hases parallèles des paraboles ou des hyperboles cl pour côtés des lignes droites, parallèles entre elles, joignant les bases ainsi supposées, par analogie avec les cylindres ordinaires. De la sorte, aucune section plane d'un tel cvlindre ne sera un cercle ou une ellipse; ces nouveaux cylindres |)()urront d'ailleurs, comme les ordinaires, être droits ou obliques, suivant que le demandera l'analyse du lieu de la question proposée.

Je répète que les problèmes de lieux conduisent nécessairement à de tels cylindres; leur invention et leur définition ne doivent donc pas être regardées comme inutiles.

Bien plus, avant d'aller plus loin, je dirai que la construction d'Arcbimède pour les sphéroïdes et les conoïdcs ne sullit pas pour notre objet; les problèmes conduisent en elTct à en considérer d'obliques et non pas seulement des droits.

De ce (]ue nous avons posé résultent tout d'abord de très beaux lieux en surface sphérique :

Si de points donnés en nombre quelconque et dans des plans quelconques, on mène des droites concourant en un même point, et que la somme des carrés des droites menées soit égale à une aire donnée, le point de concours sera sur une surface sphérique ou sur une sphère donnée de position. Nous pouvons, en effet, dire ici une sphère, à l'imitation d'Euclide et des anciens géomètres, qui ont appelé cercle la circonl'érenco et non l'aire du cercle; en tout cas, c'est sur une surface de cette nature que se trouvera le point en question.

Prenons en effet un plan quelconque donné de position et dans ce plan, suivant les règles données ailleurs pour les lieux plans et solides, cherchons le lieu des points dont la somme des carrés des distances aux points donnés soit égale à l'aire donnée.

Otte recherche est facile : supposons le problème résolu et soit