LIEUX EN SURFACE

dans le plan considéré, la courbe NIP comme lieu {fig. 89). Abaissons sur ce plan, des points A, E, C donnés par hypothèse, les normales AB, EF, CD. Le plan étant donné de position, ces normales AB, EF, CD, abaissées des points A, E, C donnés, seront elles-mêmes données, ainsi que leurs points de rencontre B, F, D avec le plan. Prenons sur le lieu NIP un point quelconque I, et joignons AI, BI, El, IF, CI, DI.

Les droites AI, El, Cl joignant aux points donnés A, C, E un point I du lieu, la somme des carrés de ces droites est égale à l'aire donnée. Si l'on en retranche les carrés des normales AB, EF, CD, lesquelles sont données, comme nous l'avons prouvé, la différence sera BF+FF-t-DI-, somme qui dès lors sera donnée. Or les points B, F, D sont donnés dans le plan supposé, ainsi que nous l'avons vu ; ainsi, on a des droites Bl, FI, Dl menées de points B, F, D donnés dans un même plan, droites concourant en un même point d'un lieu dans le même plan, et dont la somme des carrés est égale ii une aire donnée; d'après un théorème d'Apollonius que nous avons restitué depuis longtemps, on sait que le lieu NIP est un cercle donné de position.

Une analyse absolument semblable donnera les mêmes conséquences pour tout autre plan que l'on prendra; tous ces plans quelconques, en nombre indéfini, donneront donc toujours des cercles comme lieux; d'après le lemme 2, la surface cherchée sera donc une sphère.

En effet, quand nous cherchons un lieu en surfiice satisfaisant ii une question, rien ne nous empêche d'imaginer que la surface cherchée

Keruat. — Ml.

est coupée par le plan choisi. Mais ici la section ne peut être qu'un cercle, car nous avons prouvé qu'un cercle satisfait comme lieu à la même condition que la surface cherchée; il faut donc que ce cercle soit situé sur ladite surface. Il est donc clair que, dans le cas proposé, le lieu en surface est toujours coupé par un plan suivant un cercle, et par conséquent que c'est une sphère.

On démontre de même les lieux suivants :

Si de points en nombre quelconque, donnés dans un ou plusieurs plans, on me'ne des droites concourant en un même point, et que la somme des carrés d'une partie des menées soit à la somme des carrés des autres dans un rapport donné ou dans une différence donnée, ou plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que dans un rapport donné ( ' ), le point de concours sera sur une sphère donnée de position.

Des artifices analogues feront reconnaître une infinité de très belles propriétés de la surface sphérique.

Soient, en nombre quelconque, des plans donnés de position ; si d'un même point on mène à ces plans donnés, sous des angles donnés, des droites dont la somme des carrés soit égale à une aire donnée, ce point sera sur la sur/ace d'un sphéroïde donné de position.

Faisons l'analyse en prenant, suivant la méthode indiquée, un plan quelconque donné de position; cherchons-y, suivant les règles pour les lieux plans et solides telles que nous les avons autrefois exposées dans le plan, le lieu des points dont la somme des carrés des menées aux plans donnés sous les angles donnés est égale à l'aire donnée.

La construction se présente immédiatement; le plan que nous avons pris est en effet donné de position aussi bien que les autres plans donnés; les intersections de ce plan choisi et des plans donnés seront donc également données. Les droites menées aux plans donnés d'un point quelconque du plan supposé recevront donc facilement une expression analytique. Si l'on fait la somme de leurs carrés et qu'on

(') C'ost-à-dire, ca général, soit une fonction linéaire.