LIEUX EN SURFACE

l'égale à l'aire donnée, l'analyse donnera comme lieu, dans le plan supposé, un cercle ou une ellipse, et sa marche même prouvera que dans aucun autre plan donné de position, quel qu'il soit, le lieu ne peut être d'une autre nature. Il est donc clair, d'après le lemme 3, que le lieu cherché, dont les sections sont seulement des cercles ou des ellipses, est un sphéroïde.

Si la somme des carrés d'une partie déterminée des droites ainsi menées est à la somme des autres dans un rapport donné ou dans une différence donnée, ou si elle est plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que dans un rapport donné, la surface cherchée sera celle d'un sphéroïde, d'un conoide, d'un cône ou d'un cylindre, etc., suivant ce qui sera indiqué par l'analyse convenablement menée.

Par exemple, si l'on donne le rapport, on aura en général une surface de conoïdc ; mais, si les plans donnés se coupent suivant des droites concourant en un môme point, la surface deviendra conique ; si les intersections des plans donnés sont parallèles, la surface sera cylindrique. On aura d'ailleurs soit un cylindre ordinaire, soit un des nôtres.

La pratique découvrira immédiatement ce qui en est; je me borne à donner des indications générales et sommaires, pour que la trop grande multiplicité des exemples n'empêche pas de saisir clairement la méthode.

J'ai réservé pour la dernière place un exemple du plan comme lieu, qui aurait peut-être dû occuper la première :

Soient donnés de position des plans en nombre quelconque; si à ces plans on mène d' un même point, sous des angles donnés, des droites dont la somme soit égale à une droite donnée, ce point sera sur un plan donné de position.

Coupons en effet, suivant la méthode indiquée, les plans donnés par un plan quelconque donné de position et cherchons-y le lieu satisfaisant à la question, d'après la méthode donnée pour les lieux plans. Ce sera une ligne droite, comme le montrera l'Analyse, et il en

sera de même pour toutes les autres sections planes. Il est donc clair, d'après le lemme 1, que le lieu cherché est une surface plane.

Si la somme d'une partie dèlerminèe des droites ainsi menées est à la somme des autres dans un rapport donné ou dans une différence donnée, ou si elle est plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que dans un rapport donné , le point sera de même sur une surface plane donnée de position .

D'ailleurs, dans les questions précédentes, si les plans donnés avaient été parallèles entre eux, le lieu eût été également une surface plane, ce qu'il est à peine nécessaire de remarquer.

Comme couronnement, j'ajouterai encore une notable extension du lieu à trois ou quatre droites d'Apollonius :

Soient trois plans donnés de position ; si d'un point donné on mène aux plans donnés, sous des angles donnés, des droites telles que le produit de deux d'entre elles soit au carré de la troisième dans un rapport donné, le lieu du point sera soit un plan, soit une sphère, soit un sphéroïde, soit un conoïde, soit une surface conique ou cylindrique ((les anciens ou nouvelle), selon la diverse situation des plans donnés.

De même pour quatre plans, ainsi qu'il sera aisé de le voir.

Les divers cas, les conditions-limites pour les données, les problèmes ou théorèmes locaux en nombre infini que nous avons omis pour être plus bref, la démonstration des lemmes énoncés et tout ce qui aurait peut-être besoin d'une plus longue explication, sera facilement suppléé par tout géomètre soigneux et réfléchi qui aura lu cet écrit; désormais ce sujet, qui paraissait singulièrement ardu, est rendu aisé à comprendre.

Toulouse, f) janvier iG/|3.