PREMIERE PARTIE

Ce peut être un paradoxe que de dire que, même en Géométrie, Descartes n'était qu'un homme; mais, pour le reconnaître, que les plus subtils Cartésiens examinent s'il n'y a pas une imperfection dans la distribution faite par leur maître des lignes courbes en certaines classes ou degrés, et si l'on ne doit pas adopter un classement plus satisfaisant et plus conforme aux véritables lois de l'Analyse géométrique. Nous pensons pouvoir soulever cette question sans diminuer en rien la gloire d'un homme aussi illustre, car il est de l'intérêt de Descartes et de tous les Cartésiens que la vérité, dont ils se portent à bon droit comme les plus déclarés partisans, quoique parfois elle soit en désaccord avec leurs opinions, devienne manifeste pour tous, ou, si cette expression est trop générale, au moins pour les géomètres et les analystes.

La distribution en classes déterminées des problèmes de Géométrie a paru nécessaire, non seulement aux anciens, mais aussi aux analystes

modernes. Qu'on propose d'abord les équations

a + d^b ou a^+ba^z".

Dans les termes de la première, l'inconnue ne dépasse pas la racine ou le côté, dans la seconde on trouve la seconde puissance ou le carré du côté inconnu; et toutes deux constituent ensemble le premier genre des problèmes, le plus simple. Ce sont là en edet les problèmes que les géomètres ont l'babitude d'appeler /j/an^.

Le second genre de problèmes est celui où la quantité inconnue s'élève à la troisième ou à la quatrième puissance, c'est-à-dire au cube ou au bicarré. La raison pour laquelle deux puissances consécutives ne constituent, quoique diflérentes de degré, qu'un seul et même genre de problèmes, est que les équations quadratiques se ramènent facilement aux simples ou linéaires, par un procédé que les anciens connaissaient aussi bien que les modernes, et se résolvent donc facilement avec la règle et le compas. De même les équations du quatrième degré ou biquadratiqucs se ramènent aux équations du troisième degré ou cubiques, par la méthode qu'ont donnée Yiètc et Descartes. C'est en effet l'objet de cette suhtûe paraplérosc climatique de Viète que l'on peut voir dans son traité De emendatione œqualionum, Chap. VI, et l'artifice dont use Descartes en pareil cas est tout à fait semblable, quoiqu'il l'énonce en termes différents.

De même l'analyste à la façon de Viète ou de Descartes pourra, quoiqu'un peu plus difficilement, ramener l'équation bicubique à la quadratocubique ou, si l'on veut, l'équation du sixième degré à l'équation du cinquième. Mais de ce que, dans les cas précités, où il n'y a qu'une seule quantité inconnue, les équations de degré pair s'abaissent aux équations du degré impair immédiatement inférieur. Descartes a affirmé avec confiance (page 323 de la Géométrie qu'il a publiée en français) qu'il en était absolument de même pour les équations renfermant deux quantités inconnues. Car telles sont toutes les équations constitutives de lignes courbes; or, dans ces équations, non seulement la réduction ou abaissement en question ne réussira pas.

comme l'a aiïîrmé Descartes, mais encore les analystes le reconnaîtront absolument impossible. Qu'on propose, par exemple, l'équation constitutive de la parabole biquadratiquc

Par quel moyen abaissera-t-on au troisième degré cette équation du quatrième? Quclh paraplc'rosc climalique pourra-t-on imaginer?

Je désigne comme Viète les quantités inconnues par des voyelles, car je ne vois pas pourquoi Descartes a fait un changement dans une chose sans importance et qui est de pure convention.

Cette discussion ou cette remarque n'est nullement oisive ou inutile, comme le prouve la méthode générale par laquelle je ramène tous les problèmes, quels qu'ils soient, à un certain degré de courbes.

Si l'on propose un problème où la quantité inconnue s'élève à la troisième ou à la quatrième puissance, nous le résoudrons parles sections coniques qui sont du second degré. Si l'équation s'élève à la cinquième ou à la sixième puissance, nous pouvons donner la solution par des courbes du troisième degré; si l'équation monte à la septième ou à la huitième puissance, nous donnerons la solution par des courbes du quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment par un procédé identique. Il est évident par là que la question soulevée ne porte pas sur les mots, mais bien sur la chose elle-même.

Soit proposé, par exemple :

a«H-6^a = ;", ou si l'on veut a^ + b''' a — z'^ ;

dans les deux cas, le problème sera résolu par les courbes du troisième degré ou cubiques, ainsi que Descartos l'a t'ait au reste. Mais si l'on propose

a''+b''"a = z'"", ou encore a?+b'"a — z^'\

nous résoudrons le problème par des courbes du quatrième degré ou biquadratiques, ce que Descartes n'a pas fait ni jugé possible, puisqu'il a cru que dans ce cas il fallait nécessairement recourir à des

courbes du cinquième ou sixième degré. Or c'est une faute en vraie Géométrie que de prendre, pour la solution d'un problème quelconque, des courbes trop complexes ou d'un degré trop élevé, en laissant les plus simples qui conviennent, et Pappus avant les modernes avait déjà remar([ué que c'est pécher réellement contre les règles de la Géométrie qti(^ do résoudre un problème par un genre de courbes qui ne lui convient pas. Pour éviter cette faute, il faut corriger Descartes et ramener chaque problème à son rang particulier et naturel.

Page 322, Descartes affirme encore nettement que les courbes naissant de l'intersection d'une règle et d'une autre droite ou courbe sont toujours d'un degré ou genre plus élevé que la droite ou courbe de la figure, page 32i, dont elles dérivent {fig. 90).

Fis- go-

Mais imaginons, par exemple, au lieu de la droite CNK de ladite figure, page 32 1, une parabole cubique ayant pour sommet K et pour axe indéfini KLBA; qu'on achève la construction dans l'esprit de Descartes, il est clair que l'équation constitutive de cette parabole cubique sera

On reconnaîtra aussitôt que la courbe EC provenant de cette supposition n'a qu'une équation biquadratique; donc la courbe biquadratique est d'un degré ou genre plus élevé que la courbe cubique, selon la règle énoncée par Descartes lui-même, alors qu'il aifirmc au con-

traire expressément (p. 323) que la courbe biquadratique et la cubique sont d'un même degré ou genre.

Quant à notre métliode qui réduit tous les problèmes à l'infini, à savoir ceux d'équations do la troisième et quatrième puissance, ii des courbes du second degré; ceux de la cinquième et sixième puissance, au troisième degré; ceux de la septième et huitième puissance, au quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment, nous ne différerons pas de la communiquer à tous ceux qui regarderont comme un tort de dissimuler au préjudice de la vérité une erreur quelconque, fût-elle de Descartes.

Qu'on ne s'arrête pas à ce que les problèmes qui montent à la seconde puissance, et ([ui sont de la même espèce que les problèmes du premier degré (étant appelés plans comme eux), ont besoin du cercle, c'est-ii-dirc d'une courbe du second degré. Cette objection trouvera sa réponse spéciale quand nous donnerons notre méthode générale pour résoudre tous les problèmes absolument par les courbes qui leur conviennent.