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Soient AIB {fig- io4) un qiiarl do cercle, AMC la quadrataire, à la-

f|iiclle il faut mener la tangente en un point donné M. Je joins MI; de

I comme centre, avec IM comme rayon, je décris le quart de cercle

MN a rc M D ZMD. cl, menant la perpendiculaire MN, je fais -.,. = — io"~' Rejoins

MO qui sera tangente ii la quadrataire; que cela suffise.

l"ig. io4.

Cependant il arrive souvent que la courbure change, comme dans la conchoïde de Nicomède (i*"" cas) et dans toutes les espèces, sauf la première, de la courbe de M. de Roberval (2* cas); pour pouvoir bien dessiner la courbe, il convient donc de rechercher mathématiquement les points d'inflexion, où la courbure devient concave de convexe, ou inversement. Cette question se résout élégamment par la méthode de maximis cl minimis, grâce au lemmc général suivant :

Soit la courbe AHFG {fig- loj) dont la courbure change par exemple au point H. Menez la tangente HB, l'ordonnée HC; l'angle HBC sera le minimum entre tous ceux que la tangente fait avec l'axe ACD, qu'elle soit au-dessous ou au-dessus du point H, comme il est facile de le démontrer.

Qu'on prenne en effet, au-dessus du point H, un point M; la tangente en ce point rencontrera l'axe entre A et B, soit en N; l'angle en N sera donc plus grand que l'angle en B.

De même, si l'on prend le point F au-dessous de H, le point D, oii la tangente FD rencontre l'axe, sera au-dessous de B, et la tangente DF

lier,, 167] MAXIMA ET MINIMA. 147

rencontrera d'ailleurs la tangente BH du côté de FH; l'angle en D sera donc plus grand que l'angle en B.

Nous ne poursuivons pas tous les cas, nous indiquons seulement le mode de recherche, les formes des courbes variant indéfinimenl.

Pour donc trouver, par exemple, le point H sur la figure, on cherchera d'abord, d'après la méthode précédente, la propriété de la tangenle en un point ([uelconque de la courbe. Puis, par la doctrine de maœimis e.l minirnis, on déterminera le point H tel qu'en menant la

lie

perpendiculaire HC et la tangente HB, le rapport ttk soit minimum.

(>ar ainsi l'angle en B sera minimum. Je dis que le point H ainsi trouvé sera celui où commence le changement de courbure.

La même méthode de inaximis el minirnis Aonno. iiL\\i'i\, par un artifice singulier, l'invention du centre de gravité, comme je l'ai indiqué autrefois à M. de Roberval.

IMais, comme couronnement, on peut encore trouver les asymplvies d'une courbe donnée, recherche qui conduit à de remarquables propriétés pour les courbes indéfinies. Nous pourrons un jour les développer et les démontrer plus au long.