PROBLÈME ENVOYÉ AU R. P. MERSENNE

le lo novembre 16^15.

Trouver le cylindre de surjace maxiina inscrit dans une sphère donnée.

Soit donnée une sphère de diamètre AD {fig. io6), de centre C. On demande d'y inscrire le cylindre de surface maxima.

Fig. 106.

Supposons le problème résolu; soient DE le diamètre de base du cylindre, EA son côté (on peut en efTet donner cette position au cylindre, l'angle inscrit dans le demi-cercle étant droit). La surface du cylindre est proportionnelle à DE^ -f- 2DE.EA : il faut donc chercher le maximum de la somme DE^ + 2DE.EA.

Si l'on abaisse la perpendiculaire EB, on a, d'uncpart,DE^=AD.DB; de l'autre, DE.E.\ = AD.BE. Nous avons donc à chercher le maximum de la somme AD . DB -1- 9. AD . BE, ou, en divisant les deux termes par la droite donnée AD, le maximum de la somme DB + 2BE.

Cette question est facile : qu'on fasse CB = iBE, ou, ce qui revient

CE au même, BC = -^> le point E satisfera au problème. Menons en effet

la tangente EFqui rencontre en Fie prolongement du diamètre; je dis que la somme DB + 2BE est maxima.

En effet, puisque CB = i BE, BE = iBF; donc BF = 2BE; donc DF = DBh-2BE; il est clair ainsi que la somme DB-4-2BE est maxima.

Prenons en effet un point quelconque, soit 1, sur le demi-cercle, et abaissons la perpendiculaire IN; parle même point I, menons IG parai-

Icle à la tangente et rencontrant le diamètre en G. Ce point G tombera entre les points F et D, autrement la parallèle GI ne rencontrerait pas le demi-cercle. En raison du parallélisme, on a tt^ = --^; mais FB = 2BE; donc GN = 2NI et, par suite, GD = DN + 2NI. Mais comme GD(== DN -+- 2NI) est inférieure à DF(= DB -+- 2BE), il s'ensuit que DB + 2BE est un maximum et que le cylindre cherché aura pour base DE et pour côté EA.

On prouvera, d'après ce qui précède, que le rapport ït^ est i;elui du plus grand au plus petit segment d'une droite divisée en moyenne et extrême raison.

Nous pouvons d'ailleurs par le même procédé trouver et construire un cylindre de surface donnée.

On ramènera en cITet la question à l'égalité entre la somme DN + 2 NI et une droite donnée, soit DG, qui, d'après la valeur trouvée pour le maximum, devra être au plus égale à DF. Menez GI parallèle à Ffi]; le point I satisfera ii la question et l'on pourra ainsi avoir tantôt deux cylindres, tantôt un seul répondant à la condition posée.

Si, en effet, le point G tombe entre F et A, deux cylindres dilTérents satisferont au problème; mais si G tombe en A ou plus près de D, la solution sera unique.

ANALYSE POUR LES RflFRACTIONS.

Soit ACBI {fig. 108) un cercle dont le diamètre AFDB sépare deux milieux de nature différente, le moins dense étant du côté ACB, le plus dense du côté AIB.

Soient D le centre du cercle et CD le rayon incident tombant sur ce centre du point C donné; on demande le rayon réfracté DI, ou autrement le point I par où passera le rayon après la réfraction.

.\baissez sur le diamètre les perpendiculaires CF, IH. Le point C

150 ŒUVRES DE FERMAT. [170, i7î]

(Maiit donné ainsi que le diamètre AB et le centre D, le point F et la droite FD seront également donnés. Supposons que le rapport de la résistance du milieu plus dense à celle du milieu moins dense soit celui de la droite donnée DF à une autre droite m donnée en dehors de la figure. On devra avoir /?î-<DF, la résistance du milieu moins dense devant être inférieure à celle du milieu plus dense, par un axiome plus que naturel.

Nous avons maintenant à mesurer, au moyen des droites m et DF, les mouvements suivant les droites CD et DI; nous pourrons ainsi représenter comparativement l'ensemble du mouvement sur ces deux droites par la somme de deux produits : CD.m + DI.DF. . Ainsi la question est ramenée h partager le diamètre AB en un l)oint H de telle sorte que si en ce point on élève la perpendiculaire HI, puis qu'on joigne Dl , l'aire CD.//2 + DI.DF soit minima.

Nous emploierons à cet eiïet notre méthode, déjà répandue parmi les géomètres et exposée depuis environ vingt ans par Hérigone dans son Cursus inatliematicus. Appelons n le rayon CD ou son égal DI, b la droite DF, et posons DH = a. Il faut que la quantité nm + nb soit minima.

Soit, pour l'inconnue e, une droite arbitraire DO; joignons CO, 01. En notations analytiques : C0- = n'^ + e'^— nbe, et 01'- = «- + e^-l- 2«c; donc

CO. m —-\jm- 11^-^ nt'-c^— ini^bc, 10. i = \fWn^+ b'^c'-h ib-ac.

I.a somme de ces deux radicaux doit être adégalée, d'après les règles de l'art, à la somme mn -\- bn.

Pour faire clisparaitro les radicaux, on éliîvora au carré, on supprimera les termes communs et l'on transposera de façon à ne laisser dans un dos membres que le radical (|ui subsistera; puis on élèvera de nouveau au carré; après nouveau retrancliement des termes communs de part et d'autre, division de tous les termes par e et suppression de ceux où c entrera encore, selon les règles de notre méthode généralement connue depuis longtemps, on arrivera, en ôtant les facteurs communs, à l'équation la plus simple possible entre a et m, c'està-dire qu'après avoir fait disparaître les obstacles opposés par les radicaux, on trouvera que la droite DH de la figure est égale ;i la droite m.

Par conséquent, pour trouver le point de réfraction, il faut, ayant mené les droites CD et CF, prendre les droites DF cl DU dans le rapport de la résistance du milieu plus dense à celle du milieu moins dense, soit dans le rapport de h à m. On élèvera ensuite en H la perpendiculaire HI au diamètre; elle rencontrera le cercle en I, point où passera le rayon réfracté; et ainsi d'ailleurs le rayon, passant d'un milieu moins dense dans un plus dense, s'infléchira du coté de la [)erpendiculaire : ce qui concorde absolument et sans exception avec le ihéoriMne découvert par Descartes; l'analyse ci-dessus, dérivée de notre principe, donne donc de ce théorème une démonstration rigoureusement exacte.