SYNTHÈSE POUR LES RÉFRACTIONS
Le savant Descartes a proposé pour les réfractions une loi qui est, comme on dit, conforme à l'expérience; mais, pour la démontrer, il a dû s'appuyer sur un postulat absolument indispensable à ses raisonnements, à savoir que le mouvement de la lumière se ferait plus facilement et plus vite dans les milieux denses que dans les rares; or ce postulat semble contraire à la lumière naturelle.
ŒUVRES DE FEmiAT.
lin cliercliant, pour é(ai)lir la véritable loi des réfractions, à partir du principe contraire, — ii savoir que le mouvement de la lumière se l'ait plus facilement et plus vite dans les milieux rares que dans les denses, — nous sommes retombés précisément sur la loi que Descartes a énoncée. Est-il possible d'arriver sans paralogisme à une même vérité par deux voies absolument opposées, c'est une (|ues[ion que nous laissons à examiner aux géomètres assez subtils pour la résoudre rigoureusement; car, sans entrer dans dévalues discussions, la possession assurée de la vérité nous sulFit et ik^s l'estimons préférable il une plus longue continuation de querelles inutiles et illusoires.
Notre démonstration s'appuie sur ce seul postulat que la nature opère par les moyens et les voies les plus faciles et les plus aisées. Car c'est ainsi que nous croyons qu'il doit être énoncé et non pas comme on le fait d'ordinaire en disant que la nature opère toujours par les lignes les plus courtes.
En eiïet, de même qu'en spéculant sur les mouvements naturels des graves, Galilée en mesure les rapports aussi bien par le temps que par l'espace, de même nous ne considérerons pas les espaces ou les lignes les plus courtes, mais celles qui peuvent être parcourues le plus facilement, le plus commodément et dans le temps le plus /;ourl.
Cela supposé, soient deux milieux de nature diUerenle (J'g- 109)
Vip. 109
séparés parle diamètre ANB du cercle AHBM, le milieu le moins dense étant du côté de M, le plus dense du coté de H; menons de M vers H
los lign(>s quelconques MNH, JMllH, brisées sur le diauiètrc aux points N et H.
La vitesse du mobile sur MN dans le milieu rare étant plus grande, d'apri's l'axiome ou le postulat, que la vitesse du même mobile sur NH, et les mouvements étant supposés uniformes dans ehacun des deux milieux, le rapport du temps du mouvement sur MN au temps du mouvement sur NH sera, comme ou sait, le produit du rapport de MN il NH et du rapport inverse des vitesses sur NH et sur MN. Soit donc
. vitesse sur MN MN lomps sin- MN IN
P"*t^ -■-. sfTT = -<-r' 011 aura — ' ^rn =^ ^^tt.-
' vitesse sur Nil iNl leuips sur NU Mil
On prouvera de même que si le rapport de la vitesse dans le milieu
rare a la vitesse dans le milieu dense est r,,,-! on aura ' rr,, = rm-
Ul' temps sur lUl IIU
n. . -1 -, temps sur MNH IN + MI
i) ou il suit que , ' ^^,, = ,-j, — r— •
' temps sur MlUl Pl{ -+- Hll
Or, puisque c'est la nature qui dirige la lumière du point M vers le point H, nous devons chercher un point, soitN, par lequel la lumière, en s'infléchissant ou se réfractant, parviendra dans le temps le plus court du point M au point H; car on doit admettre que la nature, qui mène le plus vite possible ses opérations, visera d'elle-même ce point-là. Si donc la somme IN -!- NH, qui mesure le temps du mouvement sur la ligne brisée MNH, est une ([uantité miniina, nous aurons atteint notre but.
L'énoncé du théorème de Descartes donne ce minimum, comme nous allons aussitôt le prouver par un véritable raisonnement géométrique et sans aucune ambiguïté. Voici en efTet cet énoncé :
Si du point M on mène le rayon MN, que du même point M on abaisse
la perpendiculaire MD, puis que l'on prenne ,,',- dans le rapport de la
plus grande vitesse à la moindre, (ju'entin on élève en S la perpendiculaire SH.et que l'on mène le rayon NH, la lumière incidente au point N dans le milieu rare se réfractera dans le milieu dense du coté de la perpendiculaire vers le point H.
C'est ce théorème qui est en accord avec notre Géométrie, comme il résulte de la proposition suivante purement géométrique.
1m;iim»i. — 111. ^-'J
15i ŒUVRES DE FERMAT. [175, I7G]
Soit le cercle AHBM, dont ANB est un diamètre et N le centre; sur la circonférence de ce cercle je prends un point M quelconque, je mène le rayon MN et j'abaisse sur le diamètre la perpendiculaire IMD.
Soit donné d'autre part le rapport j^> en supposant DN > NS; on S
j'élève au diamètre la perpendiculaire SH qui rencontre la circonférence au point 11; je joins ce point au centre par le rayon HN. Posons
DN MN . ,. , ,^, ^Tj, , ' . > I-
^fTT.- = ^rrr; le dis nue la somme IN -i- NU est minima; c est-a-dire que
Nh NI ■• ' ^
si l'on prend un autre point quelconque, R par exemple, sur le rayon NB, que l'on joigne MR, RH et que l'on fasse ^ == j^p^, on aura PR + RH > IN ^- NH.
n I j' . e ■ MN '^N DN NO ,, , , .
Pour le démontrer, faisons jp^ ~ nô ^ NS ~ Nv' *^'' ^ ^^^''
par construction, puisque DN est plus petit que le rayon MN, on aura NO < NR; de même, puisque NS < ND, on aura NV< NO.
Cela posé, on a, d'après Euclide : MR' = MN' + NR' + ?.DN.NR:
MN NR mais puisque, par construction, -r-^ = ^^jt) on a MN.NO = DN.NR;
donc 2MN.NO = 2 DN.NR; donc MR' =^ MN^ + NR' + 2 MN.NO. Mais, puisque NR > NO, NR' > NO' ; donc
MRï> MN2 + N0-+ 2MN.NO.
Mais la somme MN' ■+- N0--4- 2MN.NO = (MN -+- NO)'. Donc
