NOUVEAU TRAITEMENT EN ANALYTIQUE

INCON^^llES SECONDES ET D'ORDRE SIIPËRIEOII.

La rcduetioiïaux premières des inconnues secondes et d'ordre supérieur, opération de la plus haute importance en Algèbre, trouve sou rondement dans la seule proportion de la double équation, à réitérer autant de l'ois qu'il est besoin, ainsi que le montre la marche ellemême de la question.

Soit proposé

rt^+e^— ;'" et ha + e"- -\- de-^ II'-.

Pour ramener la seconde inconnue à la première, voici les règles :

Faites passer dans un membre de l'équation tous les termes où entre la seconde inconnue. Ainsi, dans l'exemple choisi,

(le n' 4-e' = ;'", lirez: z"'-a^-e^\

de ba -+- >•"- -h de - /<-, «- — ba =z e- -i- de.

De la sorte dans cha(|ue équation les termes en e, c'est-à-dire ceux où

entre la seconde inconnue, constituent un des membres de l'équation.

Si cette équation double est ramenée à une proportion, on aura

z'" — a' : e' : : n- — ha : e- + de.

Kn égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, tous les termes seront divisibles par c, la seconde inconnue, ce qui est évident, puisque e figure dans le second et le quatrième membre de la proportion.

158 OEUVRES DE FERMAT. [isî, is:)]

On aura

;'"eî rt^ig^-t- c""rft' ~ a'' de -: «-e'— ljae\

Divisez par e jusqu'à ce qu'un terme soit entièrement débarrassé de e :

z"'e - a^e + z'"d- a^d— n-e"— hae\

Cela fait, cette nouvelle équation sera, par rapport à la seconde inconnue, d'un degré moins élevé que la plus haute des deux proposées en premier lieu. On voit en effet que dans la plus haute des deux premières proposées entre e\ dans cette dernière, le terme le plus élevé par rapport à c est en e'-.

Il ne faut pas s'arrêter ici, mais réitérer la proportion sur la double équation, jusqu'à ce qu'on ait ramené la seconde inconnue au premier degré, afin d'éviter tout radical.

Préparons donc cette dernière équation de la manière prescrite et formons un membre de l'équation avec tous les termes en e, quels qu'ils soient; on aura

z'^d^n'd-^ir-e--^ bat-'-- z"'c-+-a^e.

Des deux premières équations, la moins élevée donne, comme nous l'avons dit :

n- — ba ^= c'- -+- de.

Ramenez encore cette double équation à une proportion

:"'c? — a'oT: n"- e^ — bae- - z"'e + a'c :: n- — ba : e' + dc.

Kgalons le produit des moyens à celui des extrêmes; tous les termes pourront être divisés pave, comme on l'a montré. On aura

z"'de'--h z"'d'e - a^de-'—a^d^e

^i-n'-e'--n''-bae-~n'-z"'e-hn'-a''e-ban''e^+b'-a^e'-:=bz"'ae ^ ba'e.

Divisant tout par c, il vient enfin

z"'de 4- z"'d-^a'de - a^d'-

r=n''c - n-bac - n- z"^ -\- n-a^— ban^-e -+- b^a-e -f- bz"'a — ba'\

Cela fait, cette nouvelle équation est encore, relativement à la

[I8.i, 18',| MÉTHODE D'ELIMINATION. 15!)

seconde inconnue, al)aisséc d'un degré. Si l'on fait passer dans un membre de l'équafion tous les termes où entre c, on a

zzz II' c — «- bac — ban'^c -4- b'a-e — z"'de -\- a^ de.

Il n'y a pas lieu d'aller plus loin, puisque la seconde inconnue ne se trouve plus qu'au premier degré, si bien que, par une simple division, on aura la relation de fi à la première inconnue. Ainsi

:,»>di~n'd-+nr-z"'^n-'-a'-bz"'a^ba'' II' — ri- ba — n'^ba + b-a' — z'"d-ha^d

Pour ramener la recherche des deux inconnues à celle d'une seule, il faut reprendre une quelconque des deux équations primitives; la moins élevée est plus convenable pour que le degré de l'équation finale ne monte pas trop haut.

Ainsi nous avons dans une des deux équations primitives :

ba + e- + de ^ n'-.

Au lieu de c on substituera sa valeur trouvée qui est exprimée au moyen soit de termes connus, soit de la première inconnue qui ici est a. Puis on ordonnera l'équation par rapport à cette première inconnue. Il est clair que la seconde sera éliminée, qu'on sera arrivé il une équation libre de tout radical et que la méthode est générale.

Si en effet on proposait plus de deux inconnues, la méthode, réitérée autant qu'il le faudra, exprimera par exemple la troisième en fonction de la première et de la seconde, puis la seconde en fonction de la première, toujours par le même moyen.