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t'airo il la qiioslion. non pins siuilcnii'iil un |Miint lùi uni^ lii^no. mais IiiiMi une surface entière; de là naissent les lieux en surface, etc.

De nicmo que dans les premiers problèmes les données suffisent pour drterniiner la (|ueslioii, dans les seconds il m;iii(|ur une donni'e pour la deleraiination; dans les troisièmes il en mancjuc deux. Mais il pi'ul se faire que, de même que dans ces cas les données sufTisent ou sont m iionilii'e insnirisant. au conlrairr lian^ d'aiilrcs, les dnniu''es soient snrahondantrs et eu exeès. Un exemple rendra la chose claire.

Sur la droite AC ( fi^. ()\ ) donurc, on donne le pmdiiil AB x BC et la dilïérence des carrés AB^ — BC-.

11 l'-l clair que dans ce cas il va plnsde données ([ue n'eu réclament la détermination et par conséquent la solutiiui de la (jiieslion. (k^pendant ces problèmes se présentent très fréquemment, surtout en Physique et dans les arts manuels; tous peuvent se traiter, grâce à noire méthode, par une simple division, sans recourir à des extractions de racine, ii quidque degré que puissent monter les équations.

Soit proposé, par exemple, dans une certaine question :

rt'-l- h-a = c'-d,

et en même temps, parce que nous supposons la question surabondanle (c'est le nom que nous donnons à ces problèmes, de même que nous avons. pour habitude d'appidcr dcficienls l(>s proldi'uies de lieux) :

Ramenez cette double écination ii une proportion, en Irailaut. par l'application de la méthode <|ue nous avons enseignée, notre niii(|ue inconnue, ici «. comme nous avons fait ci-dessus la seconde, ou bien celles d'ordre supérieur, et réitérons l'opération jusqu'à ce que la valeur de a puisse s'obtenir par une simple division, et être exprimée, non plus au moyen de l'inconnue première, mais bien en termes entiè-

[188] MÉTHODE DKLIMINATION. 1C:i

rcnirnt coiiiuis. On aura iiiio sdlulmn ti-('s siiiipli' du pniIjh'Mno. cl raiialyslL' ne scia plus ciul)ari'assc par les équalious quadratiques, fubicjui's. liiquailrali(|uos. olc

Vdici, conimc couronneincnl , la solution dès simple (|ue nodc niélhodo donne de ee fameux prohli-me :

EUinl donnes luic ellipse et un jxitnl en deliors de son pUui . eoiiper par un pliin. de façon que la seelion soi/ un cercle, la surface coiiupie avant pour sommet le point donné et pour hase i ellipse donnée.

Lesgéomi'tres ramènenl la (jueslion ii prendre «'////>//«//; ciiKj points sur l'idlipse, ;» joindi'e ces points par tics droites au sommet de la surface conique, et à <lt'crire un cercle passant (lar ces cin(| droites; ils trouvent ainsi que le problème est solide. .Mais, puistjue sur Feilipse le nombre des points est indctini, si an lii'U de cinq, on en jirend six, le |)robli'me sera surabondant, (^t on arrivera ;i une double é([uation, (|ni donnera finalement l'inconnue par une simple division.

De niP.uic, si l'on donne une coiu'Ik' (|uelcoii(jue plane, on un lieu en surface, quel qu'en soit le di'grc. ou pourra trouver les diamètres et les axes et même, dans la surface-lieu, toutes les courbes constitutives du lieu en surface, etc.

Soit, par exemple, une surface coni(|ue dont le sommet soit donné et (jui ait pour base une parabnle ou une (dlipse cnlii(|ue on biqiiadrati(jue, ou de qucbjuc degré supérieur, en allani inscjuii l'iutini. Lue telle surface peut être coupée au inoviui de notre metliode de façon ii obtenir une courbe quelconque qui puisse être tracée sur cette" surface d'après sa nature, et la solution du problème sera toujours très simple.

Je n'ajoute rien sur les tangentes des courbes ni sur les autres et nombreuxusagesde cette métliode. (|ui se [)résenleronl d'eux-mêmes à la réilcxion attentive du cberclieur anaivsto.

IGl ŒUVKES DE FEUMAT. [US!), l'Jii