PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN

Au riiks ILLUSTRE CiinisTiAN IIUYriENS.

liln examinant plus attentivement, l'année doinièrc, la célrhrc réponse de François Viète au problème d'Adrien Romain, et en tombant sur ce passage du Cbapitrc VI où ce subtil matbématicien avance ne pas savoir si Adrien lui-même a bien connu \:\ formation et les pro- |)riétés de l'équation qu'il a proposée, j'ai commencé à douter (jue Viète de son côté eût bien donné et découvert une solution sullisammcnt générale de cette fameuse équation.

Adrien Romain proposait en elTet, suivant l'énoncé corrigé |>ar Vièle, de trouver la valeur de la racine de l'équation algébrique :

.\')j- — 3-95, i-^+ 9") GS.I.t"' — 1 13 Sjoo,/' H- 781 i375,r' — 'O^^i 207r>^" + I oj.'îo 607.5 .r"— 1 32G7 6280 j;-'" -t- 3 8494 2375 j;" — 4 8849 4 1 25. z'" + 48384 i8oo.r-'-3 7865 88oo.r-^3-t-2 3Go3or).52.r"— i 17679100^" 4- 4G95.5-00.1--'— 1494 5o4o.r'' + 3764560^?"— 74o259j-^'' -h 1 1 I i5o.r^' — I 23oo.r''-4- 945a:" — 45x"+ .r"^r u/i nombre doniir.

Il est certain que Viète a fait une très élégante et très savante réduction de ce problème, suivant son liabitude, en employant les sections angulaires et qu'il a construit, page 3i8 de l'édition elzéviriennc, une Table importante qu'il est aisé d'étendre indéfiniment à un nombre

[ino, 1)1] PROBLEME D'ADHIEN ROMAIN. IGo

({uolcoiuiuc (le termes en continuant à appliquer la métliode dont il s'est servi; cette Table permet de reconnaître quelle équation correspond à une division spéciale des angles.

Ainsi, si l'on prend d'abord, dans les rangs impairs, x^ — 'ia- el qu'on égale cette expression à un nombre donné qui soit au plus égal à 2, la question se ramène à la trisection de l'angle. Si ensuite on égale j;^ — j.r'+ jx à un nombre donné qui soit au plus égal à 2, la question se ramène à diviser un angle en cinq parties égales. Si c'est x'' — nx^-h- i^\x^ — jx que l'on égale encore à un nombre donné au plus égal il 2, il s'agira de prendre la septième partie d'un angle; si l'on continue indéfiniment la Table de Viètc selon la méthode qu'il a donnée, le premier membre de l'équation proposée par Adrien sera le 4 j" terme de la Table, et la question sera ramenée à prendre la 45" partie d'un angle donné.

Mais il faut observer que, dans toutes ces équations, la méthode de Viète et l'emploi des sections angulaires ne sont applicables qu'aux cas où, comme nous l'avons dit, le nombre donné, auquel on égale une quelconque des expressions algébriques de la Table, ne dépasse pas 2; si au contraire ce nombre donné est supérieur à 2, aussitôt tout ce mystère des sections angulaires devient inutile et ne rend plus aucun service pour la solution de la question proposée.

Cependant Adrien avait proposé en général de résoudre l'équation en s'en donnant le second membre; il faut donc recourir à un autre moyen qu'aux sections angulaires de Viète.

Si l'on propose tout d'abord, comme premier cas, d'égaler x^ — 3a; il un nombre donné qui soit au plus égala 2, la question, comme nous l'avons déjii indiqué, se ramène à la trisection de l'angle; si, au contraire, on égale x'' — 3x à 4 ou à tout autre nombre supérieur ii 2, l'équation proposée est résolue par les analystes au moyen de la méthode de Cardan. Mais, dans les autres cas suivants, la solution peut-elle être obtenue indéfiniment par des extractions de racines, voilii ce que les analystes n'ont pas encore essayé; mais pourquoi ne pas faire progresser l'Algèbre de ce côté, surtout sous vos auspices.

IfJG ŒUVRES DE FERMAT. [101. 102J

illuslrc Huygons, vous donl tous les savants honorent à juste titre le hrillant mérite?

Soi! donc proposé d'égaler a?* — j.r^ -f- 5j? à /j ou à tout autre nombre supérieur à li. Dans ee cas, la méthode de Vii'le est inapplicable; mais nous pouvons allirmer hardiment, pour l'ésoudre généralement le problème d'Adrien, (jue pour toutes les expressions de la Table précitée, toutes les fois que le nombre donné est supérieur ii 2, la question proposée peut être lacilement résolue par des extractions de racines.

Nous avons en elFet remarqué, bien plus nous avons démontré (|ne, dans tous ces cas, la question peut être ramenée, de même qui> dans l'équation cubi(|ue, à une (juadralique par une racine cubique, selon la méthode de f.ardan et de Viète; si l'équation est du cinquième degré, à une quadratique par une racine du cin([uième degré; si l'é- (|nali()n est du septième degré, ;i une (|uadratique par une ra(;ine du septième degré, et ainsi de suite indéGniment.

Soi! , par exemple, -r ' — Ir = '\. Tous savent que la méthode précitée

donne la racine : x = y - + V ' + V - — y/i-

Mais proposons, dans l'exemple d'Adrien ou de Viète, d'égaler .r' — 5.ï-^ — ~)x à 4 ou à lotit antre nombre [)lus grand (|ue 2.

Par une méthode qui est générale et (jni s'appli(|uera indéfiniment il tons les cas de la Table, nous supposerons que la racine cherchée est de la forme ■ — ^^ ; en opérant la substitution, nous verrons tou-

jours se détruire réciproquement les termes qui s'op|)osent :i la simple résolution de la question par une extraction de racine; par exemple, dans le cas proposé, la racine sera y 2 + V^ + V ^ — \/3.

Si l'on prend la septième expression dans la Table de Vii'le (je veux dire celle dont l'exposant de la plus haute puissance est 7), soit

et (jue l'on imagine, comme ci-dessus, x ^ ^ > tous les termes

s'opposant 'a la solution par extraction de racine se détruiront de

10?, l'J3] IMSOBLÈMt: DAIMUKN HOMAIN. 107

mèmc, et l'on (roiivtM'a potirla racine chorrlirc : y a + \/'S + y 2 - y' 5. et ainsi de suite à Tinlini.

("/est ce (|ne V(ius pourrez non seulenicuL reconnaître par l'ex[)ériencr, mais aussi démontrer, aussitôt (|uo vous le désirerez; car e'csl une propriété spé('ifi([ue de loiiles les é(|ua(ions que l'on ])eul former avec la Talde di' Vii'te, (|ue leurs solutions s'ohtiennent toujours par de simples extractions de racines, lorsque le terme connu est supérieur il 2.

Or le nomlire donné, auquel peut être éi,'alée une expression analytique de la Table, peut être soit 2. soit plus petit que 2, soit plus grand que i.

Dans le premier cas, la racine chercliée est toujours 2.

Dans le second, la question se ramène, d'après Viète, aux sections angulaires.

Dans le Iroisil'me, (die se résout l'aeilement au moyen de notre méthode, c'est-à-dire par des extractions de racines.

Ainsi, si l'on prend l'expression analytique proposée par Adrien :

la racine cherchée sera x = y 2 -1- ^l'i -+- y 2 — \/'i .

Nous n'avons pas ii nous arrêter plus longtemps sur un sujet désormais écdairci par des exemples sulfisants; ou ])eut toutefois remar(|uer ([lie l'extraction de la racine du '( "i^ degré, ou l'invention de quarante- ([uatre moyennes pro[)ortionn(dles entre deux quantités données, peut se ramener tri-s l'aeilement à l'extraction successive de deux racines cul)i([ues et d'une racine du ")" degré, ce que montrent sulfisamment les diviseurs "i et j) du nombre I"); "i en elfct correspond à une racine du 5" degré, et (j ii l'extraction de deux racines cubiques, puiscjue <) est le carré de 3, exposant du cube.

Ainsi, l'invention de deux moyeunes pro[)orLionn(dlcs réitérée deux fois et celle de quatre moycnues, opérée une seule fois, fournisseni ((uarantc-quatre moyennes et résolvent notre question, de même que

ni8 ŒLVHES DE FEU M AT. [11(41

Viètc a ramené la division de l'angle en 'ij parties égales, ce qui esl le, problème d'Adrien, à une é(juation cubique réitérée deux fois et à une é(|uali()U du 5* degré, c'es(-à-dire :i une double Iriseclitui e( ii une seule division eu />.

Je n'ajoute rien sur les solutions multiples de ré(|uation ou question proposée; j'ai seulement donné celle (]ui se présente en premier lieu, me réservant ii traiter :i loisir des auli'es dont la discussion demande plus de travail.

Adieu, linmme illustre, aimez-moi.